高中数学选修12221同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选修1-2同步练习1.下面叙述正确的是()A．综合法、分析法都是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的答案：A2.将正整数按下表的规律排列，14516……23615……98714……10111213…………………………把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作aij(i，j∈N*)，如第2行第4列的数是15，记作a24＝15，则有序数对(a82，a28)是()A．(22，45)B．(100，98)C．(51，63)D．(82，28)解析：选C.观察发现a11＝1，a22＝3，a33＝7，a44＝13，∴a55＝21，a66＝a55＋10＝31，∴ann＝a(n－1)(n－1)＋2(n－1)，∴ann＝n2－n＋1，∴a88＝82－8＋1＝57，由图形的特点可得a82＝a88－6＝51，a28＝a88＋6＝63，故有序数对(a82，a28)是(51，63)．3.已知数列{an}是等比数列，an0，且a4a6＋2a5a7＋a6a8＝36，则a5＋a7＝________．解析：∵{an}是等比数列，∴a4a6＝a25，a6a8＝a27，∴a25＋2a5a7＋a27＝36，即(a5＋a7)2＝36，又an0，∴a5＋a7＝6.答案：64.将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[A级基础达标]1.欲证2－36－7成立，只需证()A．(2－3)2(6－7)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2＋7)2(3＋6)2D．(2－3－6)2(－7)2解析：选C.根据不等式性质，ab0时，才有a2b2，∴只需证：2＋76＋3，只需证：(2＋7)2(3＋6)2.2.(2012·淄博市高二期中考试)若a0，则下列不等式成立的是()A．2a12a0.2aB．0.2a12a2a2C.12a0.2a2aD．2a0.2a12a解析：选B.∵a0，∴2a0，12a1，而当a0时，0.2a0.5a，∴0.2a12a2a.3.已知a0，b0，1a＋3b＝1，则a＋2b的最小值为()A．7＋26B．23C．7＋23D．14解析：选A.∵a＋2b＝(a＋2b)·1a＋3b＝7＋3ab＋2ba≥7＋23ab·2ba＝7＋26.当且仅当3ab＝2ba1a＋3b＝1时取得“＝”．此时a＝6＋1，b＝3＋62.4.设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P、Q、R的大小顺序是________．(注：从大到小排列)解析：要比较R、Q的大小，可对R、Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)，又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－2180，∴QR.又P－R＝22－6＝8－60，∴PRQ.答案：PRQ5.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝________．解析：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴sinα＋sinβ＝－sinγcosα＋cosβ＝－cosγ，两式平方相加得：2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，∴cos(α－β)＝－12.答案：－126.已知a，b，c为不全相等的正数，求证：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)16abc.证明：左边＝[b(a＋1)＋(a＋1)]·[b(a＋c)＋c(a＋c)]＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)．∵b＋1≥2b，a＋1≥2a，b＋c≥2bc，a＋c≥2ac，又∵a，b，c为不全相等的正数，∴(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)16abc.[B级能力提升]7.设a、b、c三数成等比数列，而x、y分别为a、b和b、c的等差中项，则ax＋cy等于()A．1B．2C．3D．4解析：选B.∵ac＝b2，a＋b＝2x，b＋c＝2y，3∴ax＋cy＝aa＋b2＋cb＋c2＝2aa＋b＋2cb＋c＝2a（b＋c）＋2c（a＋b）（a＋b）（b＋c）＝2ab＋4ac＋2bcab＋b2＋bc＋ac＝2ab＋4ac＋2bcab＋ac＋bc＋ac＝2.8.已知△ABC中，cosA＋cosB0，则必有()A．0A＋BπB．0A＋Bπ2C.π2A＋BπD.π2≤A＋Bπ解析：选A.由cosA＋cosB0得cosA－cosB，∴cosAcos(π－B)．∵0Aπ，0Bπ，且y＝cosx在x∈(0，π)上单调递减．∴Aπ－B.∴A＋Bπ，即0A＋Bπ.9.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ0；②|α＋β|5；③|α|22，|β|22.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________．解析：∵αβ0，|α|22，|β|22.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ8＋8＋2×8＝3225.∴|α＋β|5.答案：①③⇒②10.已知ab0，求证：（a－b）28aa＋b2－ab（a－b）28b.证明：欲证（a－b）28aa＋b2－ab（a－b）28b，只需证（a－b）24aa＋b－2ab（a－b）24b.∵ab0，∴只需证a－b2aa－ba－b2b，即证a＋b2a1a＋b2b.只需证1＋ba21＋ab.即证ba1ab.只需证ba1ab.而ab0，∴ba1ab成立．∴原不等式成立．11.(创新题)如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.4求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.证明：法一：要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1，要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．法二：连结AC(图略)．∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴▱ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，B1E＝B1F.∴EF⊥BD.又∵△B1EF为等腰三角形且G为EF的中点，∴B1G⊥EF.又B1G∩BD＝G，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.