初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)

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..初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)导言《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成,既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点,也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点,实现了两者内容的有机融合,保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性,能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“(★)”部分为市北版的加深内容,练习带“(★)”部分也为市北版内容。第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点:会正确地分解素因数,并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。难点:求两个正整数的最小公倍数。第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数:用来表示物体个数的数1,2,3,4,5…叫做正整数。..⑵负整数:在正整数1,2,3,4,5…之前添上“-”,得到的数-1,-2,-3,-4,-5…叫做负整数。◆零既不是正整数,也不是负整数。⑶自然数:零和正整数统称为自然数。⑷整数:正整数、零、负整数统称为整数。正整数自然数整数零负整数⑸整除:设a、b是两个整数,且b≠a,若存在整数q,使a=bq,则称b整除a,或a被b整除,记作b∣a。(★)或者说,如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商是整数,那么叫做a被b整除,或b能整除a。整数a除以整数b整数a被整数b整除a÷b整数b整除整数a例1:下列哪一个算式的被除数能被除数整除?28÷710÷35÷4解:因为28÷7=4,10÷3=3……1,5÷4=1.25,所以被除数能被除数整除的是28÷7。◆注意整除的条件:①除数、被除数都是整数;②被除数除以除数,商是整数而且余数为零。◆整除的主要性质:(★)①c∣b、b∣a,则c∣a;②若m∣a、m∣b,则m∣(a+b);③若m∣a、m∣b,则m∣(a-b);④若m∣a,则m∣ab(b为自然-数);⑤n个连续正整数的积能被n!整除。(n的阶乘:n!=1×2×3×…×n)(★)..例如:a为整数时,2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……(★)解:由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数,还有另一个数为2的倍数,有1个是3的倍数,因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数,所以,a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数,另有一个数为2的倍数,有一个数为3的倍数,即为2×3×4=24的倍数。◆整除与除尽的区别:整除:它只在整数氛围内讨论,被除数、除数、商都是整数,余数为零;除尽:未限制数域范围,只是除完后没有余数。练习⑴是否有最小的自然数?⑵是否有最大的整数?⑶把下列各数分别填入相应的括号中。22-60,12,3.14,0,1,-1,-0.618,—7正整数(),负整数(),自然数(),整数()。⑷下列各式中,哪些式子表示整除?12÷4=3()20÷0.5=40()35÷7=5()45÷45=1()4.2÷1.4=3()78÷7.8=10()⑸2.6÷1.3=2,能不能说2.6能被1.3整除?⑹如果a表示一个自然数,且a≥2,写出:①紧挨着它,在它后面的两个连续自然数_______________;..②紧挨着它,在它前面的两个连续自然数_______________。⑺下列算式中,哪些是除尽?哪些是整除?42÷7=6()3÷5=0.6()4÷0.2=20()5÷3=1……2()8.1÷3=2.7()2÷3=0.66666……()..1.2因数和倍数⑴倍数和因素:如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数(mutiple),b就叫做a的因数(factor)(或a的约数)。倍数和因数是相互依存的。⑵因素的特征:一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。⑶倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。个数最小最大因数有限1它本身倍数无限它本身没有⑷一个数的因素的求法:①列乘法算式或直接用口诀找,即这个数是哪两个数的乘积,注意要找出所有的可能性;②列除法算式找,即这个数所有能整除的整数。例:求18的因素。①乘积是18的算式有:1×18=18,2×9=18,3×6=18,所以,18的因素有1,2,3,6,9,18。②18能整除的算式有:18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,所以,18的因素有1,2,3,6,9,18。⑸一个数的倍数的求法:这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数,所以,求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。◆任何正整数都是1的倍数。练习填空:⑴45÷5=9,()能被()整除,()能整除();()是()的因数,()是()的倍数。⑵一个正整数a的因数的个数是(),其中最小的一个是(),最大的一个是();正整数a的倍数的个数是(),其中最小的一个是()。⑶一个数的最小倍数是9,那么这个数的最大因数是(),最小因数是()。⑷有一个数,它既是6的倍数,又是6的因数,这个数是()。..1.3数的整除性常见数的倍数特征:⑴2的倍数特征:个位是偶数,即个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。⑵3的倍数特征:一个数的各个数位上的数字之和能被3整除,这个数就能被3整除。⑶5的倍数特征:个位上是0或5的数,都能被5整除。⑷9的倍数特征:一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,这个数就能被9整除。⑸11的倍数特征:一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数,这个数就能被11整除。⑹7、11、13的倍数特征:一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数,这个数就能被7、11、13整除。⑺4或25的倍数特征:一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。⑻8或125的倍数特征:一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。⑼能同时被2,5整除的数的特征:个位是0。⑽能同时被2,3,5整除的数的特征:个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除。⑾能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。例1:一年级72名学生课间加餐共交□52.7□元,□处的数字辨认不清,问每个学生交了多少钱?(★)解:由于72=8×9,因此,□527□要都能被8、9整除,□527□被8整除,即27□被8整除,从而得出个位数字是2。□527□被9整除,即:□+5+2+7+2=□+7+9被9整除,从而可得首位是2。所以每人交了:252.72÷72=3.51(元)。答:每人交了3.51元。例2:要使六位数15ABC6能被36整除,而且所得的商最小,求A、B、C。(★)解:因为36=4×9,所以C只可能是1,3,5,7,9。要使商最小,首先A应尽可能小,于是取A=0,又..1+5+6+A+B+C=9+3+B+C能被9整除,即B+C+3是9的倍数,C只能是1,3,5,7,9,而B应尽可能小,因此B取1,C取5。答:A、B、C分别是0、1、5。练习1.1(★)1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动,老师准备把他们平均分成若干小组,有几种分法?有可能把他们平均分成4个小组吗?为什么?2、一班同学分成四个小组糊纸盒,每组糊的个数同样多,小马虎统计时说:全班共糊纸盒342个。小马虎统计错了吗?为什么?3、不超过100的正整数中,能被25整除的数有哪些?不错过1000的正整数中,能被125整除的数有哪些?..1.4奇数与偶数(★)⑴奇数与偶数:能被2整除的数叫做偶数(evennumber);不能被2整除的数叫做奇数(oddnumber)。◆0是偶数。◆自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。◆设n是整数,则:2n是偶数,2n-1或2n+1是奇数;设n是正整数,则:2n是正偶数,2n-1是正奇数。⑵奇数偶数的运算性质:①奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数;②奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数。③奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数。④两个连续整数的和是奇数,积是偶数。⑶推广结论:①奇数个奇数之和是奇数,偶数个奇数之和是偶数,任意有限个偶数之和是偶数。②若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数。③如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个整数都是奇数;如果若干个整数的乘积是偶数,那么其中至少有一个整数是偶数。④如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶。⑤两个整数的和与差的奇偶性相同。例1:在1,2,…,2008中每个数前面任意添加“+”、“-”号,最终的运算结果是奇数还是偶数?请说明理由。(★)解:因为a-b与a+b的奇偶性相同,所以将算式中每一个数前的“-”号逐一改成“+”号,其结果的奇偶性不变,故所求的结果与1+2+…+2008=1004×2009的奇偶性相同,因此,所求算式的结果为偶数。例2:将1,2,…,99重新排列成a1,a2,…,a99,求证:乘积(a1-1)(a2-1)…(a99-1)一定是偶数。(★)..解:1,2,…,99中有50个奇数,49个偶数,a1,a2,…,a99中也有50个奇数,49个偶数,所以a1,a3,a5,…,a99这50个数中必有一个是奇数,设其中ak是奇数,则:ak-k是两个奇数之差,因而是偶数,所以(a1-1)(a2-1)…(a99-1)一定是偶数。练习1.2(★)1、5个连续偶数的和是320,这五个连续偶数分别是几?2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘,可以得到10个不同的乘积,问乘积中有多少个偶数?3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有8人各跳了6次,有5人各跳了3次,问余下的一人至少跳了几次?4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?偶数最少有几个?第二节分解素因数..1.5素数、合数与分解素因数⑴素数:一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(primenumber)(或质数)。◆100以内的质数表:100以内共有26个质数,具体为:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。熟记20以内的全部素数。⑵合数:一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数(compositenumber)。◆重点注意:①1既不是质数也不是合数;②2是最小的质数,也是唯一的偶质数;③4是最小的合数;④正整数可以分成质数、合数和1。因此,一个数是质数就一定不是合数,是合数就一定不是质数。⑶素因数:每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数(也叫质因数)。例如15=3×5,3和5叫做15的素因数。例1:判断3333334111111是素数还是合数?(★)解:3333334111111=3333333000000+1111111=1111111×3000000+1111111=1111111(3000000+1)=1111111×3000001所以,3333334111111是合数。例2:桌子上有一堆石子共1001粒,第一步从中扔去一粒石子,并将余下的石子分成两堆。以后的每一步,都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒,再把这堆分成两堆,试问:能否在若干步以后,使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子?(★)⑴小明:我家的门牌号是最小的质数和最小的合数分别连续写两次。小丽:我家的门牌号是10以内的奇数从大到小排列。你知道小明家和小丽家的门牌号分别是多少吗?解:假设结果可能,并设最后剩下n堆,每堆3粒,则在此之前一共进行了(n-1)次操作,而每次操作都扔去一粒,所以一共扔去(n-1)粒,因此3n+(n-1)=1001,即4n=1002因为4n是4的倍数,而1002不是4的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