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1.1.3四种命题间的相互关系1.认识四种命题间的相互关系及真假关系.2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.1.本节的重点是四种命题间的相互关系.2.本节的难点是利用命题真假的等价性解决简单问题.1.四种命题的相互关系原命题若p,则q否命题若﹁p,则﹁q逆命题若q,则p逆否命题若﹁q,则﹁p互逆互逆互否互否2.四种命题的真假性(1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是:_________.(2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______真假性;②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______真假性.综上，互为逆否命题具有相同的_______.没有关系相同的相同的真假性1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若p，则q”是互否命题吗？提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则p”也是互否命题.2.互逆命题的真假性一定不等价吗？提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.3.命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_____.【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”是假命题，则其逆否命题也为假命题.其逆命题“若函数是一次函数，则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题，则它的逆否命题(即原命题的否命题)也为真，所以真命题的个数为2.答案：21.对四种命题间结构关系的认识“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.2.对四种命题间真假关系的认识(1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假.(2)当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一.判断两个命题间的结构关系【技法点拨】判断两个命题间的结构关系的方法这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系.若“只换位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”.【典例训练】1.与命题“在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”为互逆命题的是()(A)在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an≠ap+aq(B)在等差数列{an}中，若am+an=ap+aq,则m+n=p+q(C)在等差数列{an}中，若am+an≠ap+aq,则m+n≠p+q(D)在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an=ap+aq2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为互否命题的是()(A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l(B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l(C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一(D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一3.(2012·湖南高考)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是()(A)若α≠,则tanα≠1(B)若α=,则tanα≠1(C)若tanα≠1,则α≠(D)若tanα≠1,则α=44444【解析】1.选B.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q”.2.选C.根据互否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是否命题的条件和结论，所以与之互否的命题为“已知点A，直线l0，l,A∈l0，若l0不平行于l，则l0不唯一”.3.选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”，故选C.4【思考】第1题的逆命题是真命题吗？由它的真假性，你会得到怎样的启示呢？提示：第1题的逆命题是假命题.例如常数列1,1，….由它得到的启示是:在将一个命题的逆命题作为结论使用时，一定要先对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用.四种命题的真假判断【技法点拨】四种命题的真假判断的两种方法(1)利用命题真假判断的方法判断.(2)由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成.【典例训练】1.命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)02.有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则AB”的逆否命题．其中的真命题是()(A)①②(B)②③(C)①③(D)③④【解析】1.选C．因为原命题是真命题，而它的逆命题是假命题，所以它的否命题是假命题，逆否命题是真命题,故真命题有2个.2.选C．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”,是真命题，因此排除B，D．又“相似三角形的周长相等”的否命题是“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”，是假命题，排除A．所以选C．【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进行排除.互为逆否的命题同真同假的应用【技法点拨】命题真假判断的一种策略当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略.【典例训练】1.与命题“若一个正整数能被5整除，则这个数能被15整除”等价的命题是()(A)若一个正整数不能被5整除，则这个数不能被15整除(B)若一个正整数能被15整除，则这个数能被5整除(C)若一个正整数不能被15整除，则这个数不能被5整除(D)若一个正整数能被5整除，则这个数不能被15整除2.若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.【解析】1.选C.因为互为逆否的命题是等价命题，所以选C.2.若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，即原命题的逆否命题为真命题，故原命题也为真命题．所以a，b，c不可能都是奇数．【总结】在题2中，结论用的是什么语句？此题的证明你又得到怎样的启示呢？提示：在题2中，结论用的是否定语句.得到的启示：凡是以否定语句给出的命题，它的真假判断一般是使用它的逆否命题的真假来判断.【易错误区】否定对象的误区【典例】在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0}≠”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是()(A)都真(B)都假(C)否命题、逆否命题真(D)逆否命题真【解题指导】【解析】选D.命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0}≠①”的逆命题是“若{x|ax2＋bx＋c0}≠，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”,否命题是“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，则{x|ax2＋bx＋c0}=②”,逆否命题是“若{x|ax2＋bx＋c0}=，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上”.因为原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题.而逆命题为假命题，所以否命题也为假命题，故选D.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)常见错误选B解答过程中，若对①处集合{x|ax2+bx+c0}≠不理解，而误认为原命题为假命题，则会误选B.选C解答过程中，在写此命题的否命题时，若将②处{x|ax2＋bx＋c0}=错误地否定为{x|ax2＋bx＋c≥0}≠，则会错选C.解题启示在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题结论的否定对象是集合，而非不等式.【即时训练】已知命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是()(A)逆命题、否命题、逆否命题都为真(B)逆命题为真，否命题、逆否命题都为假(C)逆命题为假，否命题、逆否命题都为真(D)逆命题、否命题都为假，逆否命题为真【解析】选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．1.与命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题等价的命题是()(A)若q不正确，则p不正确(B)若q不正确，则p正确(C)若p正确，则q不正确(D)若p正确，则q正确【解析】选D．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是“若q不正确，则p不正确”，而其逆命题的逆否命题是“若p正确，则q正确”.2.命题“设a,b,c∈R，若ac2bc2,则ab”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．原命题正确，而否命题错误，所以选C．3.在空间中，(1)若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；(2)若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是_______．【解析】(1)中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用如图所示正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以(1)中的逆命题不是真命题；(2)中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以(2)中的逆命题是真命题．答案：(2)4.“若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面”的逆命题是_________，它是_______命题(填“真”或“假”)．【解析】原命题的逆命题为“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线”，它为真命题．答案：“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线”真5.已知命题：若m2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．【解析】逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．