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本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型一数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例1设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．求y＋2x＋1的最小值．解式子y＋2x＋1的几何意义是点P(x，y)与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l1时，斜率最小．设y＋2x＋1＝k，即kx－y＋k－2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k－2|k2＋1＝1，解得k＝43.故y＋2x＋1的最小值是43.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练1讨论直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2的交点的个数．解如图所示，在坐标系内作出曲线y＝4－x2的图像(半圆)．直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋22.当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l与曲线y＝4－x2有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：①当b－2或b22时，直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2无公共点；②当－2≤b2或b＝22时，直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2仅有一个公共点．③当2≤b22时，直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有两个公共点．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型二分类讨论思想的应用分类讨论思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例2过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.令y＝0，得x＝－1与x＝－2k.由题意得|－1＋2k|＝1，即k＝1.∴直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．解当所求直线斜率存在时，设其斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.∵直线与圆相切，∴d＝|2k－0＋1－3k|1＋k2＝1，解得k＝0.当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．综上所述，所求直线的方程是y＝1和x＝3.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型三与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f(x，y)＝0，求yx，y－x，x2＋y2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x，y)是圆上任一点，分别把给定的式子yx，y－x，x2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解(1)方程x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y－x＝b，则y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又因为圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：(1)yx的最大值与最小值；(2)x＋y的最大值与最小值．解(1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y).yx的几何意义就是直线OP的斜率，设yx＝k，则直线OP的方程为y＝kx.由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课所以yx的最大值与最小值分别是3＋22与3－22.(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝|6－b|2.研一研·题型解法、解题更高效因为点C到直线y＝kx的距离d＝|3k－3|k2＋1，所以当|3k－3|k2＋1＝6，即k＝3±22时，直线OP与圆相切．因为当|6－b|2＝6，即b＝6±23时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋23与6－23.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效题型四对称问题的求法对称问题主要有两大类：中心对称与轴对称两大类．1．中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．2．轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效例4已知直线l：y＝3x＋3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．解(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.即y′＋52＝3·x′＋42＋3y′－5x′－4·3＝－1，解得x′＝－2y′＝7.∴P′点的坐标为(－2,7)．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立．∴x1＋x32＝3y1＋y32＝2，解得x1＝6－x3y1＝4－y3，代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.即l3的方程为3x－y－17＝0.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．解(1)如图，B关于l的对称点B′(3,3)．AB′：2x＋y－9＝0，由2x＋y－9＝03x－y－1＝0，解得x＝2y＝5，即P(2,5)．(2)C关于l对称点C′(35，245)，由图像可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|.当P是AC′与l的交点P(117，267)时“＝”成立，∴P(117，267)．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．2．初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：本课时栏目开关画一画研一研章末复习课研一研·题型解法、解题更高效(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．本课时栏目开关画一画研一研