2020高考数学专题突破练7概率与其他知识的交汇文含解析

1专题突破练(7)概率与其他知识的交汇一、选择题1．(2018·太原五中测试)在区间[1，5]上随机地取一个数m，则方程4x2＋m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是()A．15B．14C．35D．34答案B解析由方程4x2＋m2y2＝1，即x214＋y21m2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得141m2，即m24，而1≤m≤5，则1≤m＜2，则所求概率为2－15－1＝14．故选B．2．(2018·湖南六校联考)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．112B．18C．16D．524答案C解析设AB＝2，则BG＝1，AG＝5，故多边形AEFGHID的面积S＝(5)2×2＋12×2×2＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝ABAG＝25，所以S阴影部分＝12×AE×AB×sin∠EAB＝2，故所求概率P＝212＝16．故选C．3．(2018·石家庄一模)函数f(x)＝2x(x0)，其值域为D，在区间(－1，2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是()A．12B．13C．14D．23答案B2解析因为函数f(x)＝2x(x0)的值域为(0，1)，即D＝(0，1)，则在区间(－1，2)上随机取一个数x，x∈D的概率P＝1－02－－1＝13．故选B．4．(2018·广东三校联考)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A．79B．13C．59D．23答案D解析将a记为横坐标，b记为纵坐标，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9个基本事件，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根．因为f′(x)＝x2＋2ax＋b2，满足题中条件为Δ＝4a2－4b20，即ab，所以满足条件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6个基本事件，所以所求的概率为P＝69＝23．故选D．5．(2018·湖北部分重点中学联考二)已知实数a，b是利用计算机产生的0～1之间的均匀随机数，设事件A为“(a－1)2＋b214”，则事件A发生的概率为()A．π16B．1－π16C．π4D．1－π4答案B解析分别以a，b为横轴和纵轴建立平面直角坐标系，则符合题意的实数对(a，b)表示的平面区域为边长为1的正方形及其内部，其中使得事件A不发生的实数对(a，b)表示的平面区域为以(1，0)为圆心，半径为12的四分之一个圆及其内部，则事件A发生的概率为1－π4×1221＝1－π16．故选B．6．(2018·江西重点中学盟校联考一)如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M，N分别为OA，OB的中点，在M，N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是()3A．1－2πB．12－1πC．2－4πD．1π答案B解析设以OA，OB为直径的两个圆相交于点C，由题意，OA的中点是M，则∠CMO＝90°，设扇形OAB的半径为OA＝r，则S扇形OAB＝14πr2，S半圆OAC＝18πr2，S△OMC＝12×r2×r2＝r28，所以能够同时收到两个基站信号部分的面积为212S半圆OAC－S△OMC＝πr28－r24，所以所求概率为πr28－r2414πr2＝12－1π．故选B．7．(2018·山西考前适应训练)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A．18B．14C．38D．58答案C解析设甲、乙到达约会地点的时刻分别是x，y，则取值范围为7：00≤x≤7：20，7：05≤y≤7：20，对应区域是以20和15为边长的长方形，其中甲至少需等待乙5分钟满足y－x≥5，对应区域是以15为直角边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示)，则所求概率为12×15×1520×15＝38．故选C．二、填空题8．(2019·成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲x乙的概率是________．4答案25解析乙的综合测评成绩为86，87，91，92，94，x乙＝86＋87＋91＋92＋945＝90，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而x甲x乙发生对应的数字有6，7，8，9，共4种，故x甲x乙的概率为410＝25．9．(2018·安徽联考)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率为P1，不平行的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝6572的内部，则实数m的取值范围是________．答案－16m13解析由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，满足条件的(a，b)为(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6×6＝36种，∴P1＝112，P2＝1112，∴112－m2＋111226572，解得－16m13．10．(2018·福州毕业质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是________．答案6－3π6解析由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积，此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积，从而所求概率为5P＝2×12×2×2sin60°－π×122×12×2×2sin60°＝6－3π6．三、解答题11．(2018·湖北八市联考)我们经常听到这种说法：“如果数学学得好，物理就没有什么大的问题了”，为了验证这句话的科学性，某班甲、乙两位同学根据高中所学的统计知识，用两种不同的方案对班上学生的数学、物理成绩进行了统计和分析，请补充完成他们的工作．(1)甲调查了班上6名同学某次考试的数学和物理成绩，得到下面的表格：123456数学成绩x130120109959080物理成绩y918576686355甲通过画出散点图和计算相关系数发现，y与x有一定的线性相关关系，并设回归直线方程为y^＝a^x＋b^，且根据表中数据求得a^＝0．714，求出b^的值；若从参与调查数学成绩不低于90分的同学中随机抽取两名，则他们的物理成绩均超过70分的概率为多少？(2)乙同学统计全班60名学生的数学、物理成绩情况，了解到班上数学成绩好的同学有36人，物理成绩好的有30人，数学和物理都好的有24人，填写下列2×2列联表，并判断有没有99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关？物理成绩好物理成绩不好总计数学成绩好数学成绩不好总计附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(n＝a＋b＋c＋d)．P(K2≥k0)0．0500．0250．0100．0050．001k03．8415．0346．6357．87910．828解(1)通过计算易得x＝104，y＝73，回归直线y^＝a^x＋b^一定经过点(x，y)，又6a^＝0．714，代入可得b^＝－1．256；记参与调查的6名同学中5名数学成绩不低于90分的同学从左到右依次为a，b，c，d，e，从中随机抽取2名有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种情况，而同时物理成绩均超过70分的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种情况，故所求概率为310．(2)填写2×2列联表如下：物理成绩好物理成绩不好总计数学成绩好241236数学成绩不好61824总计303060由公式可得K2＝60×24×18－12×6236×24×30×30＝106．635，故有99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关．12．(2018·湖南雅礼中学月考八)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2018年4月份的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：7报废年限车型1年2年3年4年总计A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的均值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：∑6i＝1(xi－x)(yi－y)＝35，∑6i＝1(xi－x)2＝17．5．参考公式：回归直线方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2，a^＝y－b^x．解(1)由题意，x＝3．5，y＝16，b^＝3517.5＝2，a^＝y－b^x＝16－2×3．5＝9，∴y^＝2x＋9，当x＝7时，y^＝2×7＋9＝23，即预测M公司2018年4月份(即x＝7时)的市场占有率为23%．(2)由频率估计概率，每辆A款车可使用1年、2年、3年、4年的概率分别为0．2，0．35，0．35，0．1．∴每辆A款车的利润均值为(500－1000)×0．2＋(1000－1000)×0．35＋(1500－1000)×0．35＋(2000－1000)×0．1＝175(元)；每辆B款车可使用1年、2年、3年、4年的概率分别为0．1，0．3，0．4，0．2，∴每辆B款车的利润均值为(500－1200)×0．1＋(1000－1200)×0．3＋(1500－1200)×0．4＋(2000－1200)×0．2＝150(元)，∵175150，∴应该采购A款车．8•第三部分数学思想专练•函数与方程思想专练一、选择题1．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝()A．32B．3C．72D．4答案C解析如图，令|F1P|＝r1，|F2P|＝r2，那么r1＋r2＝2a＝4，r22－r21＝2c2＝12⇒r1＋r2＝4，r2－r1＝3⇒r2＝72．故选C．2．(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A．14B．18C．－78D．－38答案C解析依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78．故选C．3．设a1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}答案B解析依题意得y＝a3x，当x∈[a，2a]时，y