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1．定义只含有_____________，并且未知数的最高次数是______，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：_________________________________________，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．2．解法首先考虑____________，____________；其次考虑_________，__________．一个未知数2ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)直接开平方法因式分解法配方法公式法不相等3．公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：__________________________________．4．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个__________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个________的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔方程_________实数根．x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)相等没有5．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2＝_______．(注意：运用根与系数关系定理的前提是Δ≥0)－baca6．一元二次方程的应用1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤一样．2．(1)增长率＝增长量基础量×100%；(2)设a为原来量，当m为平均增长率，n为增长次数，b为增长以后的量，则有a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降以后的量，则有a(1－m)n＝b.3．利润问题：(1)利润＝售价－成本(2)利润率＝利润成本×100%1．使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时，必须将一元二次方程转化为一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定a，b，c的值．2．正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．C1．(2015·兰州)一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为()A．(x＋4)2＝17B．(x＋4)2＝15C．(x－4)2＝17D．(x－4)2＝152．(2015·锦州)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．(2015·朝阳)下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是()A．x2－8＝0B．2x2－4x＋3＝0C．9x2＋6x＋1＝0D．x2－6x＝0ACA4．(2015·枣庄)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是()A．－10B．10C．－6D．25．(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是()A．12B．9C．13D．12或96．(2015·铁岭)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为()A．200(1－x)2＝162B．200(1＋x)2＝162C．162(1＋x)2＝200D．162(1－x)2＝200AA7．(2015·哈尔滨)今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2.设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是()A．x(x－60)＝1600B．x(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600D．60(x－60)＝16008．(2015·丹东)若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋a＝0的一个根，那么a＝_______．9．(2015·盘锦)方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是________________.A－3x1＝－2，x2＝4a≤110．(2015·铁岭)已知关于x的方程x2－2x＋a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是________．11．(2015·葫芦岛)若一元二次方程(m－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则m的取值范围是_______．12．(2015·本溪)关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____________．m＜15k＜2且k≠1【例1】解下列方程：(1)x2－2x＝0；(2)(2015·大连)x2－6x－4＝0；(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2；(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0.解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2(2)移项得x2－6x＝4，配方得x2－6x＋9＝4＋9，即(x－3)2＝13，开方得x－3＝±13，∴x1＝3＋13，x2＝3－13(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，∴5y2＋8y－2＝0，y＝－8±1042×5＝－4±265，∴y1＝－4＋265，y2＝－4－265(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0，(3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0，(3x＋4)(3x＋1)＝0，3x＋4＝0或3x＋1＝0，∴x1＝－43，x2＝－13【点评】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．[对应训练]1．用指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法)(2)2x2＋1＝3x；(配方法)(3)x2－2x－8＝0；(因式分解法)(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)解：(1)(2x－1)2＝9，2x－1＝±3，∴x＝1±32，x1＝2，x2＝－1(2)移项，得2x2－3x＝－1，二次项系数化为1，得x2－32x＝－12，配方x2－32x＋(34)2＝－12＋(34)2，(x－34)2＝116，由此可得x－34＝±14，∴x1＝1，x2＝12(3)x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，x1＝4，x2＝－2(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋3x－2＝0，x＝－3±172×1，∴x1＝－3－172，x2＝－3＋172一元二次方程根的判别式【例2】(2015·成都)关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(D)A．k＞－1B．k≥－1C．k≠0D．k＜1且k≠0【点评】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．另外，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．[对应训练]2．(1)(阜新模拟)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2(2)(2015·泰州)已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.①不解方程，判别方程根的情况；②若方程有一个根为3，求m的值．解：①∵a＝1，b＝2m，c＝m2－1，∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4＞0，∴方程x2＋2mx＋m2－1＝0有两个不相等的实数根；②∵x2＋2mx＋m2－1＝0有一个根是3，∴32＋2m×3＋m2－1＝0，解得m＝－4或m＝－2D一元二次方程根与系数的关系【例3】(1)(2015·金华)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(D)A．4B．－4C．3D．－3(2)(铁岭模拟)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.①若方程有实数根，求实数m的取值范围；②若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．解：①∵方程有实数根，∴Δ＝(－4)2－4m＝16－4m≥0，∴m≤4；②∵x1＋x2＝4，∴5x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋3x1＝2×4＋3x1＝2，∴x1＝－2，把x1＝－2代入x2－4x＋m＝0得(－2)2－4×(－2)＋m＝0，解得m＝－12【点评】先利用一元二次方程的根的判别式Δ＝b2－4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.[对应训练]3．(鞍山模拟)(1)已知a，b是一元二次方程x2－3x－2＝0的两根，那么1a＋1b的值为()A.23B.32C．－23D．－32(2)已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.①求k的取值范围；②是否存在实数k，使1x1＋1x2＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．D解：①由题意k≠0且Δ＝b2－4ac＞0，∴k＞－13且k≠0；②不存在．理由：∵x1＋x2＝2（k＋1）k，x1x2＝k－1k，又由1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝1，得k＝－3，而－3＜－13，∴满足条件的k值不存在一元二次方程的应用【例4】(2015·淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是__(100＋200x)__斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？解：根据题意得(4－2－x)(100＋200x)＝300，解得x＝12或x＝1，∵每天至少售出260斤，∴x＝1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元【点评】(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．[对应训练]4．(1)(盘锦模拟)一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是____L.20点拨：设每次倒出液体xL，由题意得40－x－40－x40·x＝10，解得x＝60(舍去)或x＝20.答：每次倒出20升(2)(2015·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．①求该快递公司投递总件数的月平均增长率；②如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？解：①设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意舍去)．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%②今年6月份的快递投递任务是12.1×(1＋10%)＝13.31(万件)．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，∴需要增加业务员(13.31－12.6)÷0.6＝11160≈2(人)．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员7.解一元二次方程“失根”现象评析)试题(1)解方程：3x(x＋2)＝5(x＋2)；(2)解方程：9x2＋6x＋1＝9；(3)解方程：x2－2x＋1＝0.错解(1)