2015浙江省高等数学(-工科类)竞赛试题(答案)

第1页共4页2015浙江省高等数学竞赛试题答案题号一二三四五总分得分评阅人一、计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限201coscos2limxxxx。解：0sincos22cossin2lim2xxxxxx20sincos24cossinlim2xxxxxx20sin(cos24cos)lim2xxxxx522．求不定积分221(4)xdxxx解：22111()44xdxxx222111)444(4)4(4)xdxxxxx22ln11)444(4)4(4)xxdxxxx2arctanln1ln(4)24488xxxCx3．设1()ln()xfxtxdt，求(1)f的值。解：令utx211()ln()ln()xxxfxtxdtudu()2ln2ln(1)fxxx(1)2ln2ln2ln2f第2页共4页4．已知()yyx由方程31xyey确定，求0xdydx。解：2()30xyeyxyyy23xyxyyeyxey2033xyxyxyeeyyy因为当0x时0y所以0xy5．求极限221limnnkknk。解：222111limlim1()nnnnkkkknknknn由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln2122xdxxx二、（满分20分）设数列{}na为单调递增的正数列，试讨论极限1/limnanna解：当{}na有界时，limnna一定存在，设limnnaa,则11/limnaannaa当{}na无界时，limnna，1ln1/0limlimlim1nnnnnnaaaaaannnnaeee第3页共4页三、（满分20分）已知面积为S的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V，求V的最大值。解：我们已知直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体是两个同底的圆锥，则213Vah因为211sincos22ahSa2sincossin2hSS2sin2(0)32VSS所以当4时322max3VS四、求定积分220sin1cosxxdxx解：220sin1cosxxdxx2220sinsin1cos1cosxxxxdxdxxx22sin1cosxxdxx20()sin()1cos()uxuuduu20()sin1cosuuduu因此220sin1cosxxdxx=2200sinsin21cos1cosxxxdxdxxx20sin1cosxxdxx02()sin()1cos()txttdttha第4页共4页20()sin1costtdtt2200sinsin1cos21cosxxxdxdxxx20arctancos24x所以2220sin1cosxxdxx五、（满分20分）证明：23ln(1)(1)23xxxxx。证明：令23()ln(1)23xxfxxx321()111xfxxxxx令()00fxxx(1,0)0(0,)()fx00()fx单调增极大值单调减所以()(0)0fxf即23ln(1)(1)23xxxxx