(word完整版)北师大高中数学必修四知识点(非常详细)

-1-北师大高中数学必修四知识点第一章三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{Zkk,360|}4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr．（2）度数与弧度数的换算：180rad，1rad'185730.57)180(（3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数），半径为r，则：弧长公式：rl||；扇形面积：2||2121rlrS5、三角函数:（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么v叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=v;u叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=u;当α的终边不在y轴上时，uv叫P(u,v)yxo-2-做α的正切，记作tanα,即tanα=uv.②设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,xy，它与原点的距离是220rOPrxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.（3）特殊角的三角函数值的角度030456090120135150180的弧度06432324365sin021222312322210cos123222102122231tan03313不存在31330的角度210225240270300315330360的弧度6745342335476112sin21222312322210cos23222102122231tan3313不存在313306、三角函数的诱导公式：1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．2sinsin，coscos，tantan．P(x,y)yxosinxy++__Oxy++__cosOtanxy++__O-3-3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．5sin2sin，cos2cos，tan2tan．口诀：函数名称不变，正负看象限．6sincos2，cossin2，tancot2．7sincos2，cossin2，tancot2．口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域值域：1,1当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．值域：1,1当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．值域：R既无最大值也无最小值周期性sinyx是周期函数；周期为2,TkkZ且0k；最小正周期为2cosyx是周期函数；周期为2,TkkZ且0k；最小正周期为2tanyx是周期函数；周期为,TkkZ且0k；最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk在2,2kkk上在,22kk-4-k上是增函数；在32,222kkk上是减函数．是增函数；在2,2kkk上是减函数．k上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴8、函数)0,0()sin(AbxAy的相关知识：（1）sinyxb的图象与xysin图像的关系：①振幅变换：xysinxAysin②周期变换：xysinxysin③相位变换：xysin)sin(xy④平移变换：)sin(xAysinyxb先平移后伸缩：函数sinyx的图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上每个点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象整体向上（0b）或向下（0b）平移b个单位，得到函数sinyxb．先伸缩后平移：函数sinyx的图象上每个点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象整体向左（0）或向右（0）平图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍图象上每个点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变图象整体向上（0b）或向下（0b）平移b个单位-5-移个单位，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象整体向上（0b）或向下（0b）平移b个单位，得到函数sinyxb．（2）函数)0,0()sin(AbxAy的性质：①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．定义域：R值域：,AbAb当22xkk时，maxyAb；当22xkk时，minyAb．周期性：函数)0,0()sin(AbxAy是周期函数；周期为2T单调性：x在2,222kkk上时是增函数；x在32,222kkk上时是减函数．对称性：对称中心为,0kk；对称轴为x2kk第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：||aae．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作ba//；规定0与任何向量平行．-6-5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同⑶运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．⑷坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则2121,xxyy．8、向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．9、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．10、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内baCabCC-7-的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy．12、平面向量的数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③abab．⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．若,axy，则222axy，或22axy．设11,axy，22,bxy，则12120abxxyy．设a、b都是非零向量，11,axy，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy．第三章三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：1cossin22（２）商数关系：cossintan（３）倒数关系：1cottan222tan1tansin；22tan11cos注意：tan,cos,sin按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(S：sincoscossin)sin()(S：sincoscossin)sin(-8-)(C：sinsincoscos)cos(a)(C：sinsincoscos)cos(a)(T：tantan1tantan)tan()(T：tantan1tantan)tan(正切和公式：)tantan1()ta