7.4向量的内积及其运算

7.4向量内积的坐标表示与度量公式一．掌握向量内积的坐标运算及其应用。二．掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。三．掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。教学目标教学重难点教学重点:向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标表示。教学难点:向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用复习导入：1.如何用向量的长度、夹角表示内积？2.如何用内积、长度来表示夹角？3.的充要条件?4.如何用向量的内积表示向量的长度?ba向量的内积：向量的夹角：babaaaaa2(判断两向量垂直的依据)(计算向量的长度)baba,cosba,cosbaba0ba①_____②_____③______④_____iijjjiij练习一:单位向量i、j分别与x轴、y轴方向相同，求解：iiiiii,cos0cos11100111.向量内积的坐标运算若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即2121yyxxba推广1：ayxa则设),,(2222yxayxaaaaa212212AByyxx则长度公式推广2：设A（x1，y1），B（x2，y2）两点间距离公式推广3：若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则bababa,cos222221212121yxyxyyxx1212,yyxxAB22yx2.向量垂直的充要条件已知两个向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，那么a⊥bx1x2+y1y2=00baba2121yyxxba02121yyxxba例1.设a=(3,1)，b=(1,2)，求ab，|a|，|b|，和a,b解：ab=(3,1)(1,2)=3+2=5.|a|=223(1)10aa|b|=221(2)5bbcosa,b=52||||2105abab所以a,b=45°例2.已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：△ABC是直角三角形证明：AB=(1,1),AC=(－3,3)所以ABAC=－3+3=0，即AB⊥AC，△ABC是直角三角形.BAC小结：1.向量内积的坐标表示2.向量长度的坐标表示3.两点间距离公式4.向量夹角的坐标表示5.两向量垂直的充要条件练习：（1）已知，且，求.3a2,1bba//a（2）已知a=（4，2），求与a垂直的单位向量.（3）中，，，求k的值.ABCRt3,2ABkAC,1