---三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲

板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::SSab③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？DCBA例题精讲三角形等高模型与鸟头模型CDBA【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．【例5】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD厘米，3DE厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ABCDEFHGFEDCBAHGFEDCBAHGFEDCBA(H)GFEDCBA【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？【例9】(第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中3AEAB，2BDBC，三角形BDE的面积是多少？【例10】(2008年四中考题)如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米．【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例13】如图，三角形ABC中，2DCBD，3CEAE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？EDCBAFDECBAABECDDCEBAFEDCBAFEGDCBA48cm224cm236cm212cm2MNDCBA12cm236cm224cm248cm2【例14】(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是．【例15】(第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．【例16】图中AOB的面积为215cm，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．【解析】在ABD中，因为215cmAOBS，且3OBOD，所以有235cmAODAOBSS．因为ABD和ACD等底等高，所以有ABDACDSS．从而215cmOCDS，在BCD中，2345cmBOCOCDSS，所以梯形面积：2155154580cm（）．【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm．问：长方形的面积是多少平方厘米？EDCBAEDCBADCBAOCBDADCBA【例19】O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是25cm，OAB的面积是22cm，求OBD的面积是多少？【例20】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面积．【例22】在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少？【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为215cm，而BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的720，则梯形ABCD的面积是2cm．红绿黄红PODCBAABCDEFGHPPDCBAODCBA【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例25】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为．【例26】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．【例27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例28】如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积．ABCDEFGGFEDCBAHGFEDCBAAEBFCD【例29】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积．【例30】(第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．【例31】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？【例32】如图，在平行四边形ABCD中，BEEC，2CFFD．求阴影面积与空白面积的比．【例33】(第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，EKOQPHGFEDCBAHGFEDCBAABCDEF甲乙丙FEDCBAHABCDEFG是AC边上的一点，且3AEEC，O为DC与BE的交点．若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米．且ba是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米．【例34】如图，在梯形ABCD中，:4:3ADBE，:2:3BEEC，且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米．梯形ABCD的面积是平方厘米．【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？【例36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例37】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【例38】(2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且2ADDE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．EbaODCBAOABCDEABCDE493513GFEDCBA【例39】(2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC，21AC，ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK．【例40】(2007年人大附中分班考试题)已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)【例41】(2009年四中入学测试题)如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．【例42】(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是．FEDCBAKJIHGFEDCBA丙乙甲HNMJIFEDCBAGFEDCBAHGABCDEF【例43】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AB，15AD，四边形EFGO的面积为．【例44】(清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【例45】(2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是2cm．【例46】如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．求长方形ABCD的面积．【例47】(2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，67AB，30BC．E、F分别是ABBC、边上的两点，49BEBF．那么，三角形DEF面积的最小值是．OGFEDCBA6523NMQPDCBA336523NMQPDCBA1cm4cmABCDEFABCDEF【例48】(2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，4BLDM、5BKDN，那么阴影部分的面积是．【例49】如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比．【例50】如图，四边形ABCD中，::3:2:1DEEFFC，::3:2:1BGGHAH，:1:2ADBC，已知四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积．【例51】(2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LPMQNR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XYXL．这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程．【例52】如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的23，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．PNMLKDCBA(P)ABCDKLMNSRQPHGFEDCBAHGFEDCBAABCNMQRPLXYZ【例53】如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，:1:2ADBC，:1:3AOFDOESS，224cmBEFS，求AOF的面积．【例54】（2