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第1页共25页位运算讲稿byMatrix67【Climber整理】基础篇2什么是位运算？2Pascal和C中的位运算符号2各种位运算的使用2位运算的简单应用4Pascal和C中的16进制表示4整数类型的储存4进阶篇(一)6二进制中的1有奇数个还是偶数个6计算二进制中的1的个数7二分查找32位整数的前导0个数7只用位运算来取绝对值7高低位交换8二进制逆序8进阶篇(二)9n皇后问题位运算版9Gray码10实战篇12Problem:费解的开关13Problem:garden/和MM逛花园17Problem:cowfood/玉米地22第2页共25页基础篇去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一，很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料，学习到了更多关于位运算的知识，有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章，与其说是原来那篇文章的follow-up，不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。什么是位运算？程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了，就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如，and运算本来是一个逻辑运算符，但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子，6的二进制是110，11的二进制是1011，那么6and11的结果就是2，它是二进制对应位进行逻辑运算的结果（0表示False，1表示True，空位都当0处理）：110and1011=0010=2由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转成十进制，因此处理速度非常快。当然有人会说，这个快了有什么用，计算6and11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你，位运算到底可以干什么，有些什么经典应用，以及如何用位运算优化你的程序。Pascal和C中的位运算符号下面的a和b都是整数类型，则：C语言Pascal语言a&baandba|baorba^baxorb~anotaabashlbabashrb注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834，但520||1314=1，因为逻辑运算时520和1314都相当于True。同样的，!a和~a也是有区别的。各种位运算的使用===1.and运算===and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数and1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.===2.or运算===or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。===3.xor运算===xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(axorb)xorb=a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520xor19880516=20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500xor19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@（我怎么找不到那个圈里有个叉的字符），这两个符号互为逆运第3页共25页算，也就是说(x#y)@y=x。现在依次执行下面三条命令，结果是什么？x-x#yy-x@yx-x@y执行了第一句后x变成了x#y。那么第二句实质就是y-x#y@y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x#y)@x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。procedureswap(vara,b:longint);begina:=a+b;b:=a-b;a:=a-b;end;好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：procedureswap(vara,b:longint);begina:=axorb;b:=axorb;a:=axorb;end;===4.not运算===not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。vara:word;begina:=100;a:=nota;writeln(a);end.#includestdio.hintmain(){unsignedshorta=100;a=~a;printf(%d\n,a);return0;}如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。===5.shl运算===ashlb就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100shl2=400。可以看出，ashlb的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。通常认为ashl1比a*2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1shl16-1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。===6.shr运算===和shl相似，ashrb表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr1来代替div2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。第4页共25页位运算的简单应用有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。在搜索时，把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。功能示例位运算去掉最后一位(101101-10110)xshr1在最后加一个0(101101-1011010)xshl1在最后加一个1(101101-1011011)xshl1+1把最后一位变成1(101100-101101)xor1把最后一位变成0(101101-101100)xor1-1最后一位取反(101101-101100)xxor1把右数第k位变成1(101001-101101,k=3)xor(1shl(k-1))把右数第k位变成0(101101-101001,k=3)xandnot(1shl(k-1))右数第k位取反(101001-101101,k=3)xxor(1shl(k-1))取末三位(1101101-101)xand7取末k位(1101101-1101,k=5)xand(1shlk-1)取右数第k位(1101101-1,k=4)xshr(k-1)and1把末k位变成1(101001-101111,k=4)xor(1shlk-1)末k位取反(101001-100110,k=4)xxor(1shlk-1)把右边连续的1变成0(100101111-100100000)xand(x+1)把右起第一个0变成1(100101111-100111111)xor(x+1)把右边连续的0变成1(11011000-11011111)xor(x-1)取右边连续的1(100101111-1111)(xxor(x+1))shr1去掉右起第一个1的左边(100101000-1000)xand(xxor(x-1))最后这一个在树状数组中会用到。Pascal和C中的16进制表示Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。整数类型的储存我们前面所说的位运算都没有涉及负数，都假设这些运算是在unsigned/word类型（只能表示正数的整型）上进行操作。但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢？下面两个程序都是考察16位整数的储存方式（只是语言不同）。第5页共25页vara,b:integer;begina:=$0000;b:=$0001;write(a,'',b,'');a:=$FFFE;b:=$FFFF;write(a,'',b,'');a:=$7FFF;b:=$8000;writeln(a,'',b);end.#includestdio.hintmain(){shortinta,b;a=0x0000;b=0x0001;printf(%d%d,a,b);a=0xFFFE;b=0xFFFF;printf(%d%d,a,b);a=0x7FFF;b=0x8000;printf(%d%d\n,a,b);return0;}两个程序的输出均为01-2-132767-32768。其中前两个数是内存值最小的时候，中间两个数则是内存值最大的时候，最后输出的两个数是正数与负数的分界处。由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的：计算机用$0000到$7FFF依次表示0到32767的数，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。32位有符号整数的储存方式也是类似的。稍加注意你会发现，二进制的第一位是用来表示正负号的，0表示正，1表示负。这里有一个问题：0本来既不是正数，也不是负数，但它占用了$0000的位置，因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后，最高位的变化将导致正负颠倒，并且数的绝对值会差1。也就是说，nota实际上等于-a-1。这种整数储存方式叫做“补码”。第6页共25页进阶篇(一)二进制中的1有奇数个还是偶数个我们可以用下面的代码来计算一个32位整数的二进制中1的个数的奇偶性，当输入数据的二进制表示里有偶数个数字1时程序输出0，有奇数个则输出1。例如，1314520的二进制101000000111011011000中有9个1，则x=1314520时程序输出1。vari,x,c:longint;beginreadln(x);c:=0;fori:=1to32dobeginc:=c+xand1;x:=xshr1;end;writeln(cand1);end.但这样的效率并不高，位运算的神奇之处还没有体现出来。同样是判断二进制中1的个数的奇偶性，下面这段代码就强了。你能看出这个代码的原理吗？varx:longint;beginreadln(x);x:=xxor(xshr1);x:=xxor(xshr2);x:=xxor(xshr4);x:=xxor(xshr8);x:=xxor(xshr16);writeln(xand1);end.为了说明上面这段代码的原理，我们还是拿1314520出来说事。1314520的二进制为101000000111011011000，第一次异或操作的结果如下：得到的结果是一个新的