相似三角形常用模型及应用

实用标准文档大全相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型A字形图①A字型，结论：ADAEDEABACBC，图②反A字型，结论：AEADDEACABBC图③双A字型，结论：DFBGEFGC，图④内含正方形A字形，结论AHaaAHBC（a为正方形边长）IHGFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBA图①图②图③图④8字型图①8字型，结论：AOBOABODCOCD，图②反8字型，结论：AOBOABCODOCD、四点共圆图③双8字型，结论：AEDFBECF，图④A8字型，结论：111ABCDEF图⑤，结论：EFEG、AEDBECABECDESSSS△△△△EFDCBAFEDCBAODCBAODCBAGFEDCBA图①图②图③图④图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形实用标准文档大全HEDCBAEDCBAEDCBAODCBA60°FEDCBAFEDCBA图①图②图③图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：ABBDACDC，图②外角分线型，结论：ABBDACCD图③斜射影定理型，结论：2ABBDBC，图④射影定理型，结论：1、2ACADAB，2、2CDADBD，3、2BCBDBADCBDBACAEDCBADCBA梅涅劳斯型常用辅助线GFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA考点一相似三角形【例1】如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且ADACAEAB，求证：ADEB.EDCBA【例2】如图，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面积是BDE面积的4倍，6AC，求DE的长.中考满分必做题实用标准文档大全EDCBA【例3】如图，ABC△中，60ABC，点P是ABC△内一点，使得APBBPCCPA，86PAPC，，则PB________．PCBA【例4】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG．HGFEDCBA考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A字形与8字形【例5】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：ADBPAECP.PEDCBA【例6】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPBDCPCEPEDCBA【例7】如图，M、N为ABC△边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.实用标准文档大全求证：3EFDE.FNMEDCBA考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图①所示，乙设计的方案如图②所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【例8】ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，15BC,BC边上的高10AD,求EFGHS.HGFEDCBADMFECBA【例9】如图，已知ABC中，51145ACABBC，，，四边形DEGF为正方形，其中DE，在边ACBC，上，FG，在AB上，求正方形的边长．②①GFEDCBAFEDCBA实用标准文档大全GFEDCBA【例10】如图，已知ABC中，四边形DEGF为正方形，DE，在线段ACBC，上，FG，在AB上，如果1ADFCDESS，3BEGS，求ABC的面积．GFEDCBA【例11】如图，在ABC中，5AB，3BC，4AC，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．（1）当ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长．（2）当ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长．（3）试问在AB上是否存在点P，使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．FECBA考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若5BE，2EF，则FG的长是___________．EFGDCAB【例13】如图，已知DEAB∥，2OAOCOE，求证：ADBC∥.实用标准文档大全DOECBA【例14】如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若ABaADcBEb，，,求BF的值．OFEDCBA【例15】如图：矩形ABCD的面积是36，在ABAD，边上分别取点EF，，使得3AEEB，2DFAF，且DE与CF的交点为点O，求FOD的面积。KABCDEFOOFEDCBA【例16】如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连接FC（ABAE）.（1）AEF与ECF是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设ABkBC是否存在这样的k值，使得AEF∽BCF，若存在，证明你的结论并求出k值；若不存在，说明理由.FEDCBA考点五与梯形有关的相似问题实用标准文档大全【例17】如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22pq，，则梯形的面积是（）q2p2OABCDA．222pqB．2pqC．22pqpqD．222222pqPqpq【例18】如图，梯形ABCD中，ADBC∥，两条对角线AC、BD相交于O，若:1:9AODCOBSS△△，那么:BOCDOCSS△△________．OABCD【例19】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，396ADBCAB，，,4CD，若EFBC∥，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长．FEDCBA【例20】已知：如图，在梯形ABCD中，//ABCD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F.（1）求证：//EFCD（2）若ABa,CDb，求EF的长.FEMDCBA【例21】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，ADaBCbEF，，，分别是ADBC，的中点，AF交BE实用标准文档大全于P，CE交DF于Q，求PQ的长．OQPBFCDEA【例22】如图，已知梯形ABCD中，//ADBC，90A，ABa,ADb,2BCb（ab）,DEDC,DE交AB于点E，连接EC.（1）判断DCE与ADE，DCE与BCE是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似.EDCBA考点六：相似三角形与实际问题☞考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米。已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_____米【例24】如图，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米考点七：位似☞考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】如图，ABC与'''ABC的位似中心为点O，若2AB，''5AB，则ABC与'''ABC的面积比是________，AC与''AC的比是__________FECDBAC'B'A'CBAO实用标准文档大全【例26】作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（）A.位似中心可以是多边形的一个顶点B.位似中心可以任意选取C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【例27】如图是由边长为1个单位的小正方形组成的88正方形网格，O为一个定点，在网格中画出一个直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点都是小正方形的顶点，O是一条直角边的中点，斜边长5，且以O为位似中心，相似比为3的位似图形也在正方形网格内，这样的三角形能画出几个？OOOOO考点八：“旋转相似三角形”模型☞考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】如图，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）（2）请分别说明两对三角形相似的理由CEDBA实用标准文档大全【例29】我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：________（2）如图（1），在梯形ABCD中，ADBC∥，ACBD，垂足为O．求证：2222ADBCABDC，即四边形ABCD是等平方和四边形．证明：⑶如果将图（1）中的AOD绕点O按逆时针方向旋转度（090）后得到图（2），那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．证明：ODCBAABCDO实用标准文档大全【例30】如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．图3图2图1ABCEFGDHOABCEFGDGFEDCBA（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且ABa，BCb，CEka，CGkb（ab，0k），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．图6图5图4ABCDEFGOHABCDEFGGFEDCBA（3）在第（2）题图5中，连结DG、BE，且3a，2b，12k，求22BEDG的值．实用标准文档大全考点九：“双垂直”模型☞考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】如图，直角ABC△中，ABAC，ADBC证明：2ABBDBC，2ACCDBC，2ADBDCD．【例32】如图，RtABC△中90C，点D在AC上，BDAD，M是AB的中点，MEAC于E，点P是ME的中点，连接DP．求证：BEDP．考点十：“一线三等角”模型☞考点说明：一线三等角模型也是相似三角形中常见的图形之一【例33】如图，90BDACE，求证：ABDEBCCD【例34】如图，等边ABC的边长为3，P为BC上一点，且1BP，D为AC上一点，若60APD，则CD的长为（）A.32B.23C.12D.34DCBAABCDEMPPMEDCBAECDBAPABCD