高中数学——期望方差学习

1一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3…xn…PP1P2P3…Pn…则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+xnPn+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。E(c)=c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(xn-Eξ)2·Pn+…称为随机变量ξ的方差。Dξ的算术平方根D=δξ叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2-(Eξ)2。若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。考点一期望与方差例1：设随机变量具有分布P(＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(＋2)2，(21)D，(1)．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：110120125130135P0.10.20.40.10.2其中和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．η100115125130145P0.10.20.40.10.22考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P(=2).2、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123p6125ad24125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。3开锁次数的数学期望和方差例有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．次品个数的期望例某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，为所含次品的个数，求E．根据分布列求期望和方差例设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q值，并求DE、．－101P21q212q产品中次品数分布列与期望值4例一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）评定两保护区的管理水平例甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：0123P0.30.30.20.2乙保护区：012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望E与方差D（保留两位小数）．准备礼品的个数例某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间5来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？67分析：求)(kP时，由题知前1k次没打开，恰第k次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1，发现规律后，推广到一般．解：的可能取值为1，2，3，…，n．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nnnnnnnnnPnnnnnnPnPnknknknnnnnnnknknnnnkP111212312111)211()211()111()11()(；所以的分布列为：12…k…nPn1n1…n1…n1211131211nnnnnnE；nnnnnknnnnnnD1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222nnnnnn22222)21()321)(1()321(11214)1(2)1()12)(1(611222nnnnnnnnn分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数服从二项分布，由公式npE可得解．解：由题，05.0,10~B，所以5.005.010E．说明：随机变量的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题kkkCkP1010)05.01()05.0()(，应觉察到这是05.0,10~B．8分析：根据分布列的两个性质，先确定q的值，当分布列确定时，DE、只须按定义代公式即可．解：离散型随机变量的分布满足（1）,,3,2,1,0iPi（2）.1321PPP所以有.1,1210,1212122qqqq解得.211q故的分布列为－101P21122232231)12(021)1(E.2122321223)]21(1[)12()21(21)]21(1[222D2232)12(21)22(32.12223123622223小结：解题时不能忽视条件iipkP)(时，10ip，,2,1i否则取了1q的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为，显然可以取从0到5的6个整数．抽样中，如果恰巧有k个（5,4,3,2,1,0k）次品，则其概率为9510059010)(CCCkPkk按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有.0)5(,0)4(,07.0)3(,070.0)2(,340.0)1(,583.0)0(PPPPPP故的分布列为012345P0.5830.3400.0700.00700.501.00504007.03070.02340.01583.00E由分布列可知，.007.0)3(,00007.0)3(PP这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数1的数学期望和方差为：;3.12.032.023.013.001E;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221D乙保护区的违规次数2的数学期望和方差为：;3.14.025.011.002E41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222D；因为2121,DDEE，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差64.0,1.12211DD这两个值在科学计算器上容易获得，显然，1）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性10大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．解：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5．＝1，表示一发即中，故概率为;8.0)1(P＝2，表示第一发未中，第二发命中，故;16.08.02.08.0)8.01()2(P＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032.08.02.08.0)8.01()3(22P＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064.08.02.08.0)8.01()4(33P＝5，表示第五发命中，故.0016.02.01)8.01()5(44P因此，的分布列为12345P0.80.160.0320.00640.00160016.050064.04032.0316.028.01E,25.1008.00256.0096.032.08.00016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222D.31.00225.00484.0098.009.005.0说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．分析：可能来多少人，是一个随机变量．而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：设来领奖的人数)3000,,2,1,0(,kk，所以kkkCkP300003000)04.01()04.0()(，可见04.0,30000~B，所以，1112004.03000E（人）100（人）．答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．