一元二次方程竞赛训练题

第1页共9页一元二次方程竞赛训练题1．方程kkkxkx(02)13(722是实数)有两个实根、，且0＜＜1，1＜＜2，那么k的取值范围是（）（A）3＜k＜4；（B）－2＜k＜－1；（C）3＜k＜4或－2＜k＜－1（D）无解。2．方程01)8)((xax，有两个整数根，则a3．方程012xx的解是（）（A）251；（B）251；（C）251或251；（D）251．4．已知关于x的一元二次方程02cbxax没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，acb32．5．若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根,则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是()(A)M(B)=M(C)M;(D)不确定.6．若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.7．如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）（A）10m；（B）43m；（C）143m；（D）143m8．设21,xx是二次方程032xx的两个根，那么，1942231xx的值等于（）（A）;4（B）8；（C）6；（D）0..9．已知m，n是有理数，并且方程02nmxx有一个根是25，那么m+n的值是______。10．求所有正实数a，使得方程042aaxx仅有整数根。第2页共9页11．已知且，则＝________。12．已知：a，b，c三数满足方程组48c38cab8ba2，试求方程bx2+cx-a=0的根。13．设m是整数，且方程2320xmx的两根都大于95而小于37，则m=____________．14．已知实数ba，且满足)1(33)1(2aa，2)1(3)1(3bb.则baaabb的值为（）.（A）23（B）23（C）2（D）1315．如果x和y是非零实数，使得3yx和03xyx，那么x+y等于（）.（A）3（B）13（C）2131（D）13416．已知实数a、b、x、y满足2yxba，5byax，则)()(2222yxabxyba.17．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是.18．已知a，b是实数，关于x，y的方程组baxybxaxxy,23有整数解),(yx，求a，b满足的关系式.19．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）(A)18ab(B)18ab(C)14ab(D)14ab20．在RtABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程2(21)4(1)0xmxm的两根，则m的值是（）A、4B、-1C、4或-1D、-4或121．已知a为实数，且使关于x的二次方程220xaxa有实根，该方程的根x所能取到的最大值是。第3页共9页018)8(2axax22．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式14162222aacb①及542aabc，②求a的取值范围．一元二次方程竞赛训练题(答案)：1．解：记2)13(7)(22kkxkxxf由124303)2(082)1(02)0(222kkkkfkkfkkf或2．8．原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1)∴所以a=83．（D）设0x是方程的解，则—0x也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C）．将)51(21代入方程，左边≠0，排除（C）．4．６设甲将a看为a′，由韦达定理得．于是　　　　　　　．　，　　　　　　　　　438'6'cbacab由于一次项系数b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号．于是a’．4ac由①②得．　　　　　　　　　．所以6126323acbba第4页共9页5．(B)设0x是方程的根,则0020cbxax.所以202022044)2(babxxabaxacbcbxaxa4)(42020acb42.6．74设yx2，原方程变为0452kyy.设此方程有根)0(,，则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，∴)(，故9.由韦达定理5，得21，29，于是494k，∴47k.7．（C）因为022mxx有两根，故m44≥0，得m≤1.原方程的三根为11x，mx112，mx113.显然，x2≤x1≤x3.注意到221xx3111xmm，由此得43m.8．（D）∵x1,x2是二次方程032xx的两个根，∴03121xx，03222xx，即1213xx，2223xx.由根与系数的关系知121xx，从而有19)3(4)3(1942112221xxxxx第5页共9页74)3(37432112211xxxxxx04)1(44)(421xx.9．3因为m、n为有理数，方程一根25，那么另一个根为25，由韦达定理。得m=4,n=-1,∴m+n=310．设两整数根为x,y（x≤y）为整数由于可推出则xxxaxxayaaxyayx.4,4.84,204,02∴x=5时，a=25时，y=20时；x=6时，a=18时，y=12；x=7时，a不是整数，x=8时；a=16，y=8；于是a=25或18或16均为所求。11解．：，即，，，，，12．由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-28c+48=0的两根△=-4(c-28)2≥0，c=42a=b=4所以原方程为x2+2x-1=0x1=262，x2=26213．解：这是一个二次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于m的不等式，先求出m的取值范围，再由m是整数确定m的根．设f(x)＝3x2+mx-2，由二次函数的图象，得第6页共9页7332m-59-04971m73-)73f(025193m59-)59f(-04m2Δ解得45134m2183∵m是整数，∴只有m=4．14．答：选（B）∵a、b是关于x的方程03)1(312xx的两个根，整理此方程，得0152xx，∵0425，∴5ba，1ab.故a、b均为负数.因此232222ababbaababbaabbaababbaaabb15．答：选（D）将xy3代入03xyx，得0323xxx.（1）当x0时，0323xxx，方程032xx无实根；（2）当x0时，0323xxx，得方程032xx解得2131x，正根舍去，从而2131x.于是2137213133xy.故134yx.因此，结论（D）是在正确的.16．答：5解：由2yxba，得4))((bxaybyaxyxba，第7页共9页∵5byax，∴1bxay.因而，5))(()()(2222byaxbxayyxabxyba17．答：313解：∵zyx5，35)5(3)(32zzzzyxzxy，∴x、y是关于t的一元二次方程035)5(22zztzt的两实根.∵0)35(4)5(22zzz，即0131032zz，0)1)(133(zz.∴313z，当31yx时，313z.故z的最大值为313.18．解：将baxy代入bxaxxy23，消去a、b，得xyxy3，………………………（5分）3)1(xyx.若x+1=0，即1x，则上式左边为0，右边为1不可能.所以x+1≠0，于是111123xxxxxy.因为x、y都是整数，所以11x，即2x或x0，进而y=8或y0.故82yx或00yx………………………（10分）当82yx时，代入baxy得，082ba；当00yx时，代入baxy得，0b.第8页共9页综上所述，a、b满足关系式是082ba，或者0b，a是任意实数.………………………（1519．Ｂ20．设方程的根为12,xx，依题意222121212252xxxxxx=22181mm即2340mm解得m=4或-1但12,xx0，2m-10所以m0故m=4选A21．a为实数，当0a时，关于a的二次方程220xaax有实根，于是140x322x。当a=0时，x=0综上，322x22．解法1：由①－2×②得2()24(1)0bca，所以1a．当1a时，222216142(1)(7)0bcaaaa．…………………10分又当a＝b时，由①，②得221614caa，③245acaa，④将④两边平方，结合③得2222161445aaaaa，化简得3224840250aaa，故2(65)(425)0aaa，解得65a，或4211a．所以，a的取值范围为1a且65a，4211a．第9页共9页……………15分解法2：因为14162222aacb，542aabc，所以)54(214162)(222aaaacb＝4842aa＝2)1(4a，所以)1(2acb．又542aabc，所以b，c为一元二次方程054)1(222aaxax⑤的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422aaa，所以1a．当1a时，222216142(1)(7)0bcaaaa．…………………10分另外，当a＝b时，由⑤式有054)1(222aaaaa，即05242aa，或056a，解得4211a，或65a．所以，a的取值范围为1a且65a，4211a．…………………15分