导数与积分经典例题以及答案

高三数学导数与积分经典例题以及答案一.教学内容：导数与积分二.重点、难点：1.导数公式：cxfy)(0)(xfnxxfy)(1)(nxnxfxxfysin)(xxfcos)(xxfycos)(xxfsin)(xaxfy)(aaxfxln)(xxfyalog)(exxfalog1)(2.运算公式)()(])()([xgxfxgxf)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf)()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxf3.切线，过P（00,yx）为切点的)(xfy的切线，))((000xxxfyy4.单调区间不等式0)(xf，解为)(xfy的增区间，0)(xf解为)(xfy的减区间。5.极值（1）),(0xax时，0)(xf，),(0bxx时，0)(xf∴)(0xf为)(xfy极大值（2）),(0xax时0)(xf，),(0bxx时，0)(xf∴)(0xf为)(xfy的极小值。【典型例题】[例1]求下列函数的导数。（1）1731233xxxy；（2）||lnxy；（3）21xxxy；（4）eeyxxx23；（5）1ln2xxy；（6）xxxysincos。分析：直接应用导数公式和导数的运算法则解析：（1）)7()3()1(233xxxy)1(0)(7)(3)(2331xxxxxx14931234（2）当0x时，xyxy1,ln；当0x时，)ln(xy，xxy1)1()1(∴xy1（3）2222)1()1()1(xxxxxxxxy222)1()210(1xxxxxx222)1(1xxx（4）)()2()3(eeyxxx0)2()(3)3(xxxxxee2ln233ln3xxxxxee2ln23ln)3(xxee（5）2222)1()1(ln)1()(lnxxxxxy2222222)1(ln21)1(ln2)1(1xxxxxxxxxx（6）)(sin)cos(xxxyxxxxxxsincossincos[例2]如果函数)1ln(2)(xbaxf的图象在1x处的切线l过点（0，b1）并且l与圆C：122yx相离，则点（ba,）与圆C的位置关系。解：112)(xbaxf∴l切)1(2ln2xbabayl过（0，b1）∴babab2ln21∴14ln1al与圆相离112ln222bababa，1122bbab∴bbab2221∴122ba∴点（ba,）在圆内[例3]函数)(),(xgyxfy在],[ba上可导，且)()(xgxf，则),(bax时有（）A.)()(xgxfB.)()(xgxfC.)()()()(afxgagxfD.)()()()(bfxgbgxf解：令)()()(xgxfxF∴)()()(xgxfxF∴),(bax0)(xF∴),(bax)(xF∴任取),(bax)()(aFxF∴)()()()(agafxgxf即)()()()(afxgagxf故选C[例4])(),(xgxf分别为定义在R上的奇函数、偶函数。0x时，0)3(,0)()()()(gxgxfxgxf，则不等式0)()(xgxf的解为。解：令)()()(xgxfxF∴)()()()()(xgxfxgxfxF)0,(x0)(xF∴),0(x)(xF)(xf奇，)(xg偶)(xF奇函数∵0)3(g∴0)3(F∴0)(xF解为)3,0()3,([例5]已知函数bxaxxf2)(在1x处取得极值2。（1）求)(xf的解析式；（2）m满足什么条件时，区间（12,mm）为函数增区间；（3）若P（00,yx）为)(xfy图象上任一点，l与)(xfy切于点P求l的倾斜角的正切值的取值范围。解：)(xf222)()2()(bxxaxbxa∴14)(140)(2)1(2xxxfbaxff∴10)1()1(4)(222xxxxf列表∴)1,(（－1，1）↑（1，+∞）↓mmmmm12011121]11)1(2[4)1(2)1(4)1()1(4)(222222222xxxxxxxf令]1,0(112tx]2[4)(2ttxf2114[2()]48t∴]4,21[)(xf[例6]cxxbxxf23)1(2131)(（1）)(xf在x=1，x=3处取得极值，求cb,；（2）)(xf在),(,),(),,(2121xxxx，且112xx，求证：)2(22cbb（3）在（2）的条件下，1xt比较cbtt2与1x大小关系。解：（1）cxbxxf)1()(23303600)3(0)1(cbcbcbff∴xxxxf3231)(23（2）cxbxxf)1()(2bxx121cxx21112xx1)(212xx14)(21221xxxx14212cbb∴)2(22cbb（3）))(()1(212xxxxcxbx1212)1(xtctbtxcbtt)())((121xtxtxt)1)((21xtxt*∵112xx∴1112txx∴*式0∴12xcbtt[例7]已知抛物线xxyC2:21和axyC22:。如果直线l同时是1C和2C的切线，称l是1C和2C的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1）a取什么值时，1C和2C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若1C和2C有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。分析：分别利用曲线21,CC方程求切线l的方程再比较，从而求得a满足条件；对于（2）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。解析：（1）函数xxy22的导数22xy，曲线1C在点)2,(1211xxxP的切线方程是))(22()2(11121xxxxxy即211)22(xxxy①函数axy2的导数xy2曲线2C在点),(222axxQ的切线方程是)(2)(2222xxxaxy即axxxy2222②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程所以axxxx2221211消去2x得方程0122121axx若判别式0)1(244a，即21a时解得211x，此时点P与Q重合即当21a时，1C和2C有且仅有一条公切线由①得公切线方程为41xy（2）由（1）可知，当21a时1C和2C有两条公切线设一条公切线上切点为),(),,(2211xxQyxP，其中P在1C上，Q在2C上，则有121xx)(22212121axxxyyaxxx21121)1(2a1线段PQ的中点为)21,21(a同理，另一条公切线段QP的中点也是)21,21(a所以公切线段PQ和QP互相平分[例8]已知抛物线cbxaxy2过点)1,1(，且在点)1,2(处与直线3xy相切，求cba,,的值。解析：∵cbxaxxfy2)(∴baxxfy2)(∵抛物线在点)1,2(处与直线3xy相切∴1)2(f，且1)2(f即)2(14)1(124bacba又抛物线过点（1，1）∴1cba（3）将（1）（2）（3）联立解得9,11,3cba[例9]设函数dcxbxaxy23的图象与y轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为0412yx，若函数在2x处取得极值为0，试确定函数的解析式。解析：∵dcxbxaxy23的图象与y轴交点为P∴点P的坐标为),0(d∵曲线在P点处的切线方程为412xy，故P点坐标适合此方程，将),0(dP代入后得4d又切线的斜率为12k而cbxaxy232，cyx0|∴12c又函数在2x处取得极值0∴0|2xy且0)2(f即)2(02048)1(012412baba由（1）（2）解得9,2ba∴4129223xxxy[例10]已知曲线xy1。（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；（3）求满足斜率为31的曲线的切线方程。解析：（1）∵21xy，又P（1，1）是曲线上的点∴P为切点，所求切线的斜率为1)1(fk∴曲线在P点处的切线方程为)1(1xy，即2xy（2）显然Q（1，0）不在曲线xy1上，则可设过该点的切线的切点为)1,(aaA，则该切线斜率为211)(aafk则切线方程为)(112axaay（*）将Q（1，0）代入方程（*）得)1(1102aaa得21a。故所求切线方程为44xy（3）设切点坐标为)1,(aaA，则切线的斜率为31122ak解得3a∴)33,3(A或)33,3(A，代入点斜式方程得)3(3133xy或)3(3133xy即切线方程为0323yx或0323yx[例11]已知0a，函数),0[,)(3xaxxf，设01x，记曲线)(xfy在点))(,(11xfxM处的切线为l。（1）求l的方程；（2）设l与x轴交点为)0,(2x，证明：①312ax；②若311ax，则1231xxa。解析：（1）求)(xf的导数：23)(xxf，由此得切线l的方程：)(3)(12131xxxaxy（2）依题意，切线方程中令0y2131213112323xaxxaxxx①)32(3131213121312axaxxax0)2()(31311231121axaxx∴312ax当且仅当311ax时等号成立②若311ax，则031ax，03213112xaxxx，且由①312ax，所以1231xxxa[例12]设函数)1ln()1()(xaaxxf，其中1a，求)(xf的单调区间。解析：由已知得函数)(xf的定义域为),1(，且)1(11)(axaxxf（1）当01a时，由0)(xf知，函数)(xf在),1(上单调递减（2）当0a时，由0)(xf，解得ax1)(),(xfxf随x的变化情况如下表：x)1,1(aa1),1(a)(xf－0+)(xf↓极小值↑从上表可知当)1,1(ax时，)(xf0，函数)(xf在)1,1(a上单调递减当),1(ax时，0)(xf，函数)(xf在),1(a上单调递增综上所述：当01a时，函数)(xf在),1(上单调递减当0a时，函数)(xf在)1,1(a上单调递减，)(xf在),1(a上单调递增[例13]已知函数13)(23xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。分析：因为)(xf在R上为减函数，即0)(xf在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函数)(xf的导数：163)(2