第2章点、直线、平面的投影2.1点的投影2.2直线的投影2.3平面的投影2.4直线与平面及两平面之间的相对位置2.5换面法2.1点的投影2.1.1点在两投影面体系中的投影2.1.2点在三面投影体系中的投影2.1.3特殊位置点的投影2.1.4两点的相对位置和重影点2.1.1点在两投影面体系中的投影1、两投影面体系的组成HV(1)两个互相垂直的投影面◆正立投影面(简称正投影面或V面)◆水平投影面(简称水平面或H面)(2)投影轴OXOX轴:V面与H面的交线两个投影面互相直V面和H面把空间分成四个部分,依次用I、II、III、IV表示,,分别称它们为第一、二、三、四分角。(3)分角2.1.1点在两投影面体系中的投影2、点的两面投影图HVOXa点A的正面投影a点A的水平投影注意:空间点用大写字母表示,点的投影用小写字母表示。a●a●A●立体图ax投影面展开●●●XOVHAaaxa向下翻不动H●aV●axaXO2、点的两面投影图3、点的两面投影特性(1)点的投影连线垂直于投影轴。即a´a⊥OX.(2)点的投影与投影轴的距离,等于该点与相邻投影面的距离。即axa′=aAaxa=a'A●aXO●a2.1.1点在两投影面体系中的投影2.1.2点在三面投影体系中的投影1、三投影面体系的组成W投影面◆正立投影面(简称正投影面或V面)◆水平投影面(简称水平面或H面)◆侧立投影面(简称侧面或W面)投影轴HVOXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y分角H、V、W把空间分为8个区域,分别称为8个分角。2、点的三面投影图WHVOXZYa点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影注意:空间点用大写字母表示,点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●立体图axazaY2、点的三面投影图●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动投影面展开VWHaYHa●x●●azZaaaYWaXYHYWO2、点的三面投影●●●●XYZOVHWAaaaxaazayWVHaa●x●●azZaaYHaYWaXYHYWO●●●aZaaXYHYWO投影面展开投影图2、点的三面投影图●●●●XYZOVHWAaaaxaazayZaa●x●●azZaaYHaYWaXYHYWO(xA,yA,zA)xAyAzAyA3、点的投影规律①aa⊥OX轴yA(oayH=oayw)=aax=zA(oaz)=aax=②xA(oax)=aayH=aa⊥OZ轴=Aa(A到V面的距离)aaz=Aa(A到W面的距离)aayw=Aa(A到H面的距离)aazz3、点的投影规律●●●●XYZOVHWAaaaxaazayZaa●x●●azZaaYHaYWaXYHYWO(xA,yA,zA)xAyAzAyA(1)点的投影连线垂直于投影轴。(注意aa“)(2)点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标,也就是该点与对应的相邻投影面的距离。【例2.1】已知点的正面投影和水平投影,试求其侧面投影【例2.2】已知点A(10、8、12),求点A的三面投影。ZXOa'aaYHYWb’’b’’bb’c’cc’’练习1已知点A的正面与侧面投影,求点A的水平投影2.1.3特殊位置点的投影1.投影面上的点的投影2.投影轴上的点的投影练习2:已知点的坐标求三面投影练习2:题解c2.1.4两点的相对位置和重影点1.两点的相对位置(1)绝对座标法:空间点对原点的坐标。(2)相对座标法:两点的相对坐标,即两点坐标差。XOZYaaabbbBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaaaxAyAzA2.1.3特殊位置点的投影(1)绝对座标法:空间点对原点的坐标。(2)相对座标法:两点的相对坐标,即两点坐标差。XZYWYHOaaabbbxA-xByA-yBzA-zB两点中X值大的点——在左两点中Y值大的点——在前两点中Z值大的点——在上XOZYaaabbbBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB2.1.3特殊位置点的投影XZYWYHOaaabbbxA-xByA-yBzA-zB需要注意的是:XOZYaaabbbBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB1)对水平投影而言,由ox轴向下就代表向前;对侧面投影而言,由oz轴向右也代表向前。2)已知两点的相对位置,只要知道其中一点的位置,另一点的位置随之就能确定。2.1.4两点的相对位置和重影点2.重影点及其可见性当两点的某两个坐标相同时,该两点将处于同一投影线上,因而对某一投影面具有重合的投影,则这两点称为对该投影面的重影点。重影点的可见性判别方法:对于V–––前遮后;对于H–––上遮下,对于W–––左遮右。a'aaXZYWYHOb'bb895练习3已知A点在B点前方5毫米,上方9毫米,右方8毫米,求A点的投影。练习4:两点的相对位置练习4:题解练习5:重影点及投影可见性练习5:题解2.2直线的投影2.2.1直线及直线上点的投影特性2.2.2各种位置直线的投影特性2.2.3两直线的相对位置2.2.4直角投影定理2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角2.2.1直线及直线上点的投影特性1、直线的投影:可以看做是直线上所有点的投影集合。aaabbb●●●●●●将直线上两点的同名投影用直线连接就得到直线的同名投影。2、直线的投影特性BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●从几何角度看,直线的投影:是过直线上各点向投影面作投射线,其诸投射线所形成的平面与投影面的交线。2.2.1直线及直线上点的投影特性3、直线上点的投影特性cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″(1)若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。(2)直线上的点分割直线段之比,等于投影后分割直线段之比。即:AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理【例2.4】已知线段AB的投影图,作出分线段AB为AC:CB=1:4的点的两面投影。cc’1.任作一直线并五等分2.作相似形定出C点的水平投影c3.求出C点的正面投影c’xoa’b’abB。c。2.2.2各种位置直线的投影特性直线按与投影面相对位置分为三类:投影面平行线只平行于一个投影面投影面垂直线正平线(平行于V面)侧平线(平行于W面)水平线(平行于H面)正垂线(垂直于V面)侧垂线(垂直于W面)铅垂线(垂直于H面)一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面2.2.2各种位置直线的投影特性1、投影面的平行线投影特性:γβXZ″baaabbOYHYW′′″水平线实长(1)在它所平行投影面上的投影反映真长,它与相应投影轴的夹角,分别反映与相应的投影面的夹角。(2)另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴,且小于真长。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″直线与投影面夹角的表示法:与H面的夹角:与V面的夹角:β与W面的夹角:γWHVOXZY1、投影面平行线正平线XababbaOZYHYW投影特性:1.ab=AB。反映、角的真实大小2.ab平行于OX;ab平行于OZ。aababbAB1、投影面平行线侧平线aababbABWHVOXZY投影特性:1.ab=AB;反映、角的真实大小2.ab平行于OZ;ab平行于OYH。aababbABXZabbbaOYHYWa练习判断下列直线是什么位置的直线?侧平线正平线实长β实长γbaababbaabba2、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线(2)另外两个投影,平行于相应投影轴,且反映真长。(1)在其垂直的投影面上积聚成一点。投影特性:●aba(b)ab●c(d)cddc●efefe(f)注:“相应”可理解为:是指与该垂线平行的投影轴或坐标轴。3、一般位置直线(投影面倾斜线)ZYaOXabbaYb1、三个投影都倾斜于投影轴;投影特性HaβγaAbVBbWab2、三个投影的长度都小于真长;3、三个投影与投影轴的夹角都不反映直线与投影面倾角。2.2.3两直线的相对位置1、平行两直线投影特性空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉(异面)。空间两直线平行,则其各三对同面投影必相互平行,反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX2.2.3两直线的相对位置2、相交两直线投影特性若空间两直线相交,则其三对同面投影必相交,且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点acVXbHDacdkCAkKdbOBcabdbacdkk2.2.3两直线的相对位置accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′交叉直线既不符合平行两直线投影特性,又不符合相交两直线投影特性。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′3、交叉两直线投影特性【例2.4】判断两侧平线的相对位置。2.2.4直角定理空间两直线成直角(相交或交叉),若两边都与某一投影面倾斜,则在该投影面上的投影不是直角。如若是一边平行于某一投影面的直角,则在该投影面上的投影仍是直角。此投影特性称为直角投影定理。需要说明的是:1)空间直线为交叉垂直时,直角投影定理仍然成立。2)当直角的另一边也平行于该投影面时,在该投影面上的投影也是直角;当直角的另一边垂直于该投影面时,在该投影面上的投影成为一直线。是其两个特例。如图3-23所示。已知AB⊥BC,AB∥H面,BC倾斜于H面。∵AB∥H面,Bb⊥H面,∴AB⊥Bb,又∵AB⊥BC,∴AB垂直于BC和Bb所决定的平面BCcb。又∵ab∥AB,∴ab⊥平面BCcb,则有ab⊥bc,即∠abc为直角。2.2.4直角定理利用直角投影定理可以解决许多有关垂直、求距离的作图问题。【例2.5】如图2.22(a),求点K到正平线AB的距离KC的投影。作图:1)如图2.22(b),由k′作k′c′⊥a′b′,与a′b′相交得C点正面投影c′。2)C点在AB上,依据点的投影规律求得C点水平面投影c;连接k′c′、kc即为KC的两面投影。2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角特殊位置直线在三面投影中能直接反映其实长及对投影面的倾角,而一般位置直线则不能直接反映。但可用直角三角形法求作一般位置直线的实长和倾角。如图2.23(a)所示,已知一般位置直线AB的两面投影,确定AB的实长和倾角α,其作图过程如图2.23(b)所示:作图:1)在正面投影中,由b′作水平线,作出直线AB两端点与H面的距离差ZA-ZB。2)以ab为一直角边,由a作ab的垂线,在此垂线上量取am=ZA-ZB。3)连b和m,bm即为直线AB的实长,∠abm即为AB的真实倾角α。2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角因此,用直角三角形法求直线实长与倾角的方法是:以直线在某一投影面上的投影为底边,以直线的两端点与这个投影面的距离差为高,形成一个直角三角形。其斜边是直线的实长,斜边与底边的夹角就是该直线对这个投影面的倾角。2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角【例2.6】如图2.24(a),求点K到正平线AB的距离。作图:1)作K点到正平线AB的距离KC的两面投影如【例2.5】,得图2.24(b)。2)如图2.24(c)在图2.24(b)基础上,过c′作k′k垂线c′m′交k′k于m′。3)由c作kc的垂线,并在其上截取cm0,使cm0=k′m′,连接k和m0,km0即为点K到正平线AB的距离。2.3平面的投影2.3.1平面的投影表示法2.3.2各
本文标题:机械制图10
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