固体物理第一二章习题解答

第一章习题1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和配位数。(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。解：名称分子式结构惯用元胞布拉菲格子初基元胞中原子数惯用元胞中原子数配位数氯化钾KClNaCl结构fcc286氯化钛TiClCsCl结构sc228硅Si金刚石fcc284砷化镓GaAs闪锌矿fcc284碳化硅SiC闪锌矿fcc284钽酸锂LiTaO3钙钛矿sc552、6、12O、Ta、Li铍Behcp简单六角2612钼Mobccbcc128铂Ptfccfcc14122.试证明：理想六角密堆积结构的1281.6333ca。如果实际的ca值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a，而相邻两层的最近邻原子间距为：212243cad。当d=a时构成理想密堆积结构，此时有：212243caa，由此解出：633.13821ac。若633.1ac时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大，因此层间堆积不够紧密。3.画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。解：4.考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标系中，在1a、2a、3a三个基矢坐标上的截距为2,,2，则晶面指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系1a、2a、3a上的截距为,2,2，则晶面指数为（110）。5.试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于上述各晶面的轴线是什么对称轴？解：晶面指数原子数面密度面间距对称轴（100）22aaC4（110）24.1aa22C2（111）23.2aa33C36.对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：132aaij，232aaij，kcc。求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。解：由倒格基失的定义，可计算得：3212aab=a2)31(ji，jiaaab)31(22132，kcaab22213（未在图中画出）正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示（1）由21bb、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六角晶系的特征。（2）由21aa、构成的二维正初基原胞，与由21bb、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。7.用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。证明：由倒格矢的性质，倒格矢321blbkbhGhkl垂直于晶面（hkl）。由晶向指数（hkl），晶向可用矢量A表示，则：321alakahA。倒格子基矢的定义：)(2321aab；)(2132aab；)(2213aab在立方晶系中，可取321aaa、、相互垂直且321aaa，则可得知332211bababa，　，　，且321bbb。设mabii（为常值，且有量纲，即不为纯数），则AmalakahmGhkl）＝321(，即hklG与A平行。8.考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：(a)倒格矢123hGhbkblb垂直于这个晶面；(b)晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hklhdG；(c)对于简单立方晶格有22222adhkl。证明：（a）晶面（hkl）在基矢321aaa、　、　上的截距为lakaha321、　、　。作矢量：kaham211，lakam322，halam133显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且022232121321133213221321211aaaaalaaaaakaaaaahkahablbkbhkahaGmh　　　　同理，有02hGm，03hGm所以，倒格矢hklGh晶面。（b）晶面族（hkl）的面间距为：hhhhhklGGblbkbhhaGGhad232111（c）对于简单立方晶格：212222lkhaGh22222lkhad9.用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å，反射角为=19.20，求面间距d111。解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得sin2nd（对主极大取n=1）)(34.22.19sin254.10Ad10.试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。证明：由劳厄方程：2)(0kkRl与正倒格矢关系：2hlGR比较可知：若0kkGh成立，即入射波矢0k，衍射波矢k之差为任意倒格矢hG，则k方向产生衍射光，0kkGh式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式。对弹性散射：0kk。由倒格子性质，倒格矢hG垂直于该晶面族。所以，hG的垂直平分面必与该晶面族平行。由右图可知：sin4sin2kGh(A)又若'hG为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：dGh2'；若hG不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性：ndGnGhh2'（B）比较（A）、（B）二式可得：2dSin＝n即为Blagg公式。11.求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为：434341434143414343414141212102102102121000，　，　，　，　，　，　，　结构因子：mijlwkvhuijhkljjjefS2lkhilkhilkhilkhilhilkikhieeeeeeef33233233221前四项为fcc的结构因子，用Ff表示从后四项提出因子)(2lkhielkhiflkhifflkilhikhilkhifhkleFeFFeeeefFS22)()()()(112因为衍射强度2hklSI，lkhilkhiflkhilkhifhkleeFeeFS222)()(2221·122用尤拉公式整理后：)(2cos1222lkhFSfhkl讨论：1、当h、k、l为奇异性数（奇偶混杂）时，0fF，所以02hklS；2、当h、k、l为全奇数时，222232)4(22ffFSflkh；3、当h、k、l全为偶数，且nlkh4（n为任意整数）时，2222..64164)11(2ffFSflkh当h、k、l全为偶数，但nlkh4，则122nlkh时，0)11(222..FSlkh12.证明第一布里渊区的体积为cV32，其中Vc是正格子初基原胞的体积。证明：根据正、倒格子之间的关系：)(2321aab，)(2132aab；)(2213aabVc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即ccccVaaaaaaVaaaaaaVaaaV31231233211332332122)()(2　　第二章习题1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：nmrbrarU)(，求：⑴晶体平衡时两原子间的距离；⑵平衡时的二原子间的互作用能；⑶若取m=2，n=10，两原子间的平衡距离为3Å，仅考虑二原子间互作用则离解能为4eV，计算a及b的值；⑷若把互作用势中排斥项nbr改用玻恩－梅叶表达式exprp，并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n和p间的关系。解：(1)由nmrbrarU)(，平衡时：0)(10100nmrbnramrrrU，得：ambnrmn0，化简后得：mnambnr1)(0。(2)平衡时把r0表示式代入U(r)中：mnmnmnmnnmmnbamnabnmambnbambnarUmnnmnm)()()(0。（3）由r0表示式得：81)5(10310ab若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得：101021019)103()103(106.14ba化简为：80101039104.6ba略去第二项计算可得：21152381045.9102.7mJbmJa，　(4)由题意得：nprbre0*00lnlnlnrnbpr，bprrnlnln00，则：00lnlnrbprn又解：*式两边对r0求导，得：10nprbnrep，与*式比较得：prn10可解得：npr02、N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为：ReRBNRUn024)(。⑴证明平衡原子间距为：neBRn20104；⑵证明平衡时的互作用势能为：)11(4)(0020nRNeRU；⑶若试验试验测得Nacl晶体的结合能为765kJ/mol，晶格常数为5.6310-10m，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n，已知Nacl晶体的马德隆常数是＝1.75。证明：（1）由：ReRBNRUn024)(得：120220214)1(4)()(nnRBnReNReRnBNdRRdU令：0)(0RRRRdU，即04102002nRBnReN得：20104eBnRn。（2）把以上结果代入U(R)式，并把R取为R0，则：nReNeBNRUnneBneBneBn114)(4)()(0024024401120112020若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－”。（3）由（2）之结论整理可得：)(400022RUReNeNn式中：23100.6NN，19106.1e库仑，1201085.8法/米若题中R0为异种原子的间矩，则：mR1001063.55.0；molJRU/1065.7)(50U（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）马德隆常数：75.1，将这些一致数据代入n的表达式中，则：8.81056.275.1100.61065.71082.