专题提升6-平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法

专题提升6平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法1．(西宁中考)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连结CD，则阴影部分的面积是(D)A.12π－1B.12π－2C．π－2D．π－1【解】在Rt△ACB中，AB＝22＋22＝22.∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD是等腰直角三角形ACB底边上的高，∴AD＝BD＝CD＝2，∴S阴影部分＝S扇形CAB－S△ADC＝14π×22－12×(2)2＝π－1.(第1题)(第2题)2．(达州中考)如图，将直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是(B)A．12πB．24πC．6πD．36π【解】设以AB为直径的半圆为半圆O，以AB′为直径的半圆为半圆O′.∵AB＝AB′＝12，∠BAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形ABB′＋S半圆O′－S半圆O＝60π×122360＋12π×62－12π×62＝24π.3．如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当点A1第一次滚动到图②的位置时，顶点A1所经过的路径长为(A)(第3题)A.4＋233πaB.8＋433πaC.4＋33πaD.4＋236πa【解】连结A1A5，A1A4，A1A3，易得A1A4＝2a，A1A5＝A1A3＝3a.当点A1第一次滚动到图②的位置时，顶点A1所经过的路径分别是以点A6，A5，A4，A3，A2为圆心，a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角均为60°的五条弧，故总长为60π·（a＋3a＋2a＋3a＋a）180＝4＋233πa.4．(邵阳中考)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置……以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)(第4题)A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π【解】转动第一次的路线长是90π×4180＝2π，转动第二次的路线长是90π×5180＝52π，转动第三次的路线长是90π×3180＝32π，转动第四次的路线长是0，转动第五次的路线长是90π×4180＝2π，……以此类推，每四次转动为一个循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋52π＋32π＋0＝6π.∵2015÷4＝503……3，∴顶点A转动2015次经过的路线长是6π×504＝3024π.5．(梧州中考)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以点E为圆心，ED长为半径作半圆，交点A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为(B)(第5题)A．95B．185C．365D．725【解】∵MN是半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积．在Rt△AED中，DE＝DA2＋AE2＝62＋32＝35，∴MN＝2DE＝65，∴S阴影＝S△DMN＝12MN·DA＝12×65×6＝185.6．如图，水平地面上有一面积为152πcm2的扇形(阴影部分)，半径OA＝3cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动大半圈至与三角形石块BDE接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C.已知∠BCD＝30°，则点O移动的距离为(B)(第6题)A．2πcmB．4πcmC.92πcmD．52πcm【解】∵S扇形＝12lR＝12l·3＝152π，∴l＝5π，可求得扇形圆心角的度数为300°.连结OC.∵∠BCD＝30°，∴∠BOC＝2∠BCD＝60°.∴AmC︵所对圆心角的度数为300°－60°＝240°，∴点O移动的距离＝lAmC︵＝240π×3180＝4π(cm)．7．(重庆中考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是2π(结果保留π)．【解】根据题意，得S阴影部分＝S扇形ADB－S半圆AB.∵S扇形ADB＝90π×42360＝4π，S半圆AB＝12π×22＝2π，∴S阴影＝4π－2π＝2π.(第7题)(第8题)8．如图，将半径为2cm的圆形纸板沿着长和宽分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长是4π＋56cm.【解】圆在矩形的四个角的顶点处旋转的角度为90×4＝360°，即一个圆周，则旋转的路线长是2π×2＝4π(cm)．∴圆心所经过的路线长＝2(16＋12)＋4π＝(56＋4π)cm.9．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于5π．(第9题)【解】如解图．(第9题解)由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条线段，长度为14圆的弧长，然后沿着O1O2︵走过14圆的弧长．∴圆心O运动路径的长度为14×2π×5＋14×2π×5＝5π.10．(河南中考)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C为OA的中点，CE⊥OA交AB︵于点E，以点O为圆心，OC长为半径作CD︵交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为π12＋32．【解】连结OE.∵C为OA的中点，∴OC＝12OE＝12OA＝1.又∵CE⊥OA，∴∠CEO＝30°，∠COE＝60°，∴CE＝3，∠BOE＝30°.∴S阴影＝S扇形OBE＋S△COE－S扇形OCD＝30π×22360＋12×1×3－90π×12360＝π12＋32.(第10题)(第11题)11．如图，正三角形ABC的边长为3cm，边长为1cm的正三角形RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上．将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转，直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动的路径长为2πcm(结果保留π)．【解】由图可知，点P第一次回到原来的位置时，运动路径为3段120°的弧长，即运动路径长＝3×120π×1180＝2π.12．如图，已知AB为半圆的直径，C，D为AB︵的三等分点，半圆的半径为R，求S阴影．(第12题)【解】连结OC，OD，CD.∵C，D为AB︵的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OC＝OD，∴∠DCO＝60°.∴∠AOC＝∠OCD.∴CD∥AB.∴S△ACD＝S△COD.∴S阴影＝S弓形＋S△ACD＝S弓形＋S△COD＝S扇形OCD.∵S扇形OCD＝60×πR2360＝16πR2，∴S阴影＝16πR2.13．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°.正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与点M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN，NP，PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与点Q重合即停止滚动．(第13题)(1)请在所给的图中，用尺规作出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图．(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN，NP，PQ所围成图形的面积S.【解】(1)作图如解图所示．(第13题解)(2)∵点A依次绕点D，C，B翻滚，都翻滚2次，半径分别为1，2，1，翻转角分别为90°，90°，150°，∴S＝2×90π×12360＋2×90π×（2）2360＋2×150π×12360＋4×12×12＝π2＋π＋5π6＋2＝73π＋2.