高中数学双曲线经典例题

第1页（共10页）高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．x=0B．C．D．2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为．第2页（共10页）二、离心率1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．3、焦点三角形1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为．2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．第3页（共10页）4、直线与双曲线的位置关系已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k=＿＿＿＿5、综合题型如图，已知椭圆12222byax(ab0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．第4页（共10页）高中数学双曲线经典例题参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2015秋•洛阳校级期末）已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．x=0B．C．D．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，∴|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上又C1，C2的坐标分别为（﹣4，0）与（4，0）∴其垂直平分线为y轴，∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0②若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（﹣4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（﹣4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2﹣a2=14，故此双曲线的方程为综①②知，动圆M的轨迹方程为应选D．2．（2014•齐齐哈尔三模）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l第5页（共10页）的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．故选D．二．填空题（共5小题）3．（2013秋•城区校级期末）已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为33．【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．∵P是双曲线上一点，∴||PF1|﹣|PF2||=2a=16，又|PF1|=17，∴|PF2|=1或|PF2|=33．又|PF2|≥c﹣a=2，∴|PF2|=33．故答案为33第6页（共10页）4．（2008秋•海淀区期末）已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．【解答】解：由题意，角F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程﹣=1此时P（c，y），代入双曲线方程﹣=1解得y=又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，故得=2c，即2ac=c2﹣a2，即e2﹣2e﹣1=0，解得e=1故双曲线的离心率是故答案为．5．（2014秋•象山县校级月考）设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为﹣2．【解答】解：设双曲线左焦点为F2，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF|=2a，即|PF|=|PF2|﹣2a，则|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|﹣2a≥|F2A|﹣2a，当P、F2、A三点共线时，|PF2|+|PA|有最小值，此时F2（﹣2，0）、A（3，1），则|PF2|+|PA|=|AF2|=，而对于这个双曲线，2a=2，所以最小值为﹣2．故答案为：﹣2．第7页（共10页）6．（2011秋•张家港市校级期末）与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是．【解答】解：设所求双曲线的方程为，∵已知双曲线的焦点为（±，0）∴所求双曲线中的c2=5①∵双曲线过点∴②且c2=a2+b2③联立①②③解得a2=4，b2=1，∴双曲线的方程为．故答案为：．7．（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．第8页（共10页）三．解答题（共4小题）8．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．【解答】解：由题意，双曲线3x2﹣5y2=75，可化为=1由余弦定理可得160=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos120°=（PF1﹣PF2）2+3PF1•PF2=100+3PF1•PF2，∴PF1•PF2=20．S△F1PF2=PF1•PF2sin120°=×20×=5．故答案为：A．9．（2014春•湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵焦距是实轴长的2倍，∴c=2a，∴b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x；（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，∵焦距为10，∴2c=10，2a=5∴PF1•PF2=75．∴S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=•75•=．第9页（共10页）10．（2008秋•岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．【解答】解：设所求双曲线方程为：mx2﹣ny2=1，（mn＞0），因为点A（，﹣2）和B（﹣2，）在双曲线上，所以可得：，解得，故所求双曲线方程为．11．（2009秋•天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．【解答】解：（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得a=8，c=10．∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=3，b=．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．第10页（共10页）同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．