人教版选修2-1综合测试卷及答案

1选修2-1综合测试题考试时间:120分钟满分:150分一、选择题1、已知、为实数,则是的()A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、给出命题:若函数是幂函数,则函数的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.33、已知函数()sin2()3fxxxf,则()3f()A.12B.0C.12D.324、如果命题“pq”是假命题，“p”是真命题,那么()A.命题p一定是真命题B.命题q一定是真命题C.命题q可以是真命题也可以是假命题D.命题q一定是假命题5、已知命题,命题,若命题“”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(,2]{1}B.(,2][1,2]C.[1,)D.[2,1]6、如图1111ABCDABCD是正方体，1111114ABBEDF，则1BE与1DF所成角的余弦值为()A．1517B．12C．817D．327、如图所示，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A．22B．33C．77D．57abba2222loglogab()yfx()yfx2:1,2,0pxxa2:,220qxRxaxapq28、如右上图所示，我们把由半椭圆22221(0)xyxab与半椭圆22221(0)yxxbc合成的曲线称作“果圆”(其中222,abc0abc).如图,设点210,,FFF是相应椭圆的焦点,12,AA和12,BB是“果圆”与,xy轴的交点,若012,,FFF是边长为1的等边三角,则,ab的值分别为()A.1,27B.1,3C.5,3D.5,49、设和为双曲线()的两个焦点,若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.310、设斜率为2的直线过抛物线2(0)yaxa的焦点F，且和轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A.B.C.D.11、已知长方体1111ABCDABCD中，112ABBCAA，，E是侧棱1BB的中点，则直线AE与平面11AED所成角的大小为()A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确12、平面的一个法向量n(1，－1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A．6B．4C．3D．34二、填空题13、已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设,aABbAC，若向量kab与2kab互相垂直，则k的值为________。14、已知向量(cos,sin,1),(3,1,2)ab，则2ab的最大值为________．15、已知椭圆22221(0)xyabab与双曲线22221xymn(0,0)mn有相同的焦点(,0)c和(,0)c，若c是a、m的等比中项,2n是22m与2c的等差中项,则椭圆的离心率是.1F2F22221xyab0,0ab12FF，(0,2)Pb32252ly24yx28yx24yx28yx1316、现有下列命题:其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)①命题“2,10xxxR”的否定是“2,10xxxR”;②若|0Axx,|1Bxx,则()RABð=A;③函数()sin()(0)fxx是偶函数的充要条件是()2kkZ;④若非零向量,ab满足a=,bb=a(R)，则=1.三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)设命题:p不等式21xxa的解集是1{3}3xx；命题:q不等式2441xax的解集是。若“pq”为真命题，试求实数a的值取值范围。18、(12分)已知向量b与向量(2,1,2)a共线，且满足18ab，且()()kabkab，求向量b及k的值。19、(12分)如图所示，已知圆1O与圆2O外切，它们的半径分别为3、1,圆C与圆1O、圆2O外切。(1)建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方程；(2)在(1)的坐标系中，若圆C的半径为1，求圆C的方程。20、(12分)某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为2126m的厂房,工程条件是：①建1m新墙的费用为a元;②修1m旧墙的费用为4a元；③拆去1m的旧墙,用可得的建材建1m的新墙的费用为2a元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙一段xm(04)x为矩形一边；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长14x；问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好。·O1O24xyOF1··F2M21、(12分)已知1F、2F分别为椭圆1C:22221(0)yxabab的上、下焦点,其中1F也是抛物线22:4Cxy的焦点,点M是1C与2C在第二象限的交点,且15||3MF.(1)求椭圆1C的方程;(2)已知点(1,3)P和圆O:222xyb,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点,AB,在线段AB上取一点Q,满足:APPB,AQQB,(0且1).求证：点Q总在某定直线上.22、(14分)（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD∥QA，12QAABPD。（1）证明：平面PQC平面DCQ。（2）求二面角QBPC的余弦值。5选修2-1综合测试题参考答案1.A22abab,当0a或0b时,不能得到22loglogab,反之成立.2.B原命题为真,其逆命题为假,∴否命题为假,逆否命题为真.3.C得()cos2()3fxxf,∴11()2()()32332fff.4.C“非p”是真命题,命题p是假命题∴命题q可以是真命题也可以是假命题.5.A“”为真,得p、q为真,∴2min()1ax;△244(2)0aa.得2a或1a.6.A7.C8.A22212OFbc,02332OFcOF,∴1b,∴22237144abc,得72a,即72a,1b.9.B由有,则,故选B.10.B抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为2()2ayx,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为.10.D1122PTQSyQT,∴1QTy,1(,0)Qxy,根据导数的几何意义,01()PQykyxxy,∴2yy.11.B12.B13.【答案】－52或214.【答案】415.12本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得pq3tan623cb2222344()cbca2cea2(0)yaxa(,0)4aly(0,)2a1||||4242aa8a28yx6·O1O2xyOC22222cabmn①,2cam②,22222nmc③,将①代入③得22223nmn,∴3nm,代入③得2cm,再代入②得4am,得12cea.16.②③将b=a代入a=b得(21)a=0,∴21,有1,④错.17.解:由21xxa得113axa,由题意得1123313aaa.∴命题p:2a.由2441xax的解集是,得24410axx无解,即对xR,24410axx恒成立,∴20(4)4410aa,得1a.∴命题q:1a.由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.当p、q均为假命题,则2{1}1aaaa,而{1}{1}Raaaað.∴实数a的值取值范围是(1,).18.解:∵a,b共线，∴存在实数λ,使b=λa,∴a·b=λa2=λ︱a︱2,解得λ=2.∴b=2a=(4,-2,4).∵(ka+b)⊥(ka-b),∴(ka+b)·(ka-b)=(ka+2a)·(ka-2a)=0,即(k2-4)︱a︱2=0，解得k=±2.19.解:(1)如图,以12OO所在的直线为x轴,以12OO的中垂线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设圆C的圆心为(,)Cxy,半径为r,由12COCO(3)r(1)2r,得圆C的圆心的轨迹是以1(2,0)O，2(2,0)O为焦点,定长为2的双曲线,设它的方程为22221xyab.由22a,得1a,又2c,∴2223bca.又点(1,0)不合题意,且1220COCO,知1x.∴圆C的圆心的轨迹方程是2213yx(1x).(2)令),(yxC,由圆C与圆1O、2O相切得4||1CO,2||2CO,7故4)2(16)2(2222yxyx,解得)215,23(C,∴圆C的方程为22315()()122xy.20.解:(1)方案:修旧墙费用为x·4a元,拆旧墙造新墙费用为(4－x)·2a,其余新墙费用:2126(214)xax∴总费用367(1)4xyax(0＜x＜14)∴267()352xyaax≥35a,当x＝12时,ymin＝35a.(2)方案,利用旧墙费用为14·2a＝72a(元),建新墙费用为252(216)xax(元)总费用为:126212()2yaxax(x≥14)设126()(14)fxxxx,则222126126'()1xfxxx,当14x时,'()0fx,()fx为增函数,∴max()(14)35.5fxfa.由3535.5aa知,采用(1)方案更好些.答:采用(1)方案更好些.21.解:(1)由22:4Cxy知1(0,1)F,设000(,)(0)Mxyx,因M在抛物线2C上,故2004xy…①又15||3MF,则0513y……②,由①②解得0263x,023y.而点M椭圆上,故有2222226()()331ab即2248193ab…③,又1c,则221ba…④由③④可解得24a,23b,∴椭圆1C的方程为22143yx.(2)设1122(,),(,)AxyBxy,(,)Qxy,由APPB可得:1122(1,3)(1,3)xyxy,即121213(1)xxyy由AQQB可得:1122(,)(,)xxyyxxyy,即1212(1)(1)xxxyyy⑤⑦得:222212(1)xxx⑥⑧得:2222123(1)yyy8两式相加得2222221122()()(1)(3)xyxyxy又点,AB在圆223xy上,且1,所以22113xy,22223xy即33xy,∴点Q总在定直线33xy上.22.解:如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系xyzD.(Ⅰ)依题意有)0,1,1(Q，)1,0,0(C，)0,2,0(P，则)0,1,1(DQ，)1,0,0(DC，)0,1,1(PQ，所以0DQPQ，0DCPQ，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.且DQDCD故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.……6分（II）依题意有)1,0,1(B，CB=)0,0,1(，BP=)1,2,1(.设),,(zyxn是平面PBC的法向量，则,0,0BPnCBn即.02,0zyxx因此可取).2,1,0(n设m是平面PBQ的法向量，则.0,0PQmBPm可取),1,1,1(