最短路径

13.4课题学习最短路径问题一、学习目标1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。二、重点难点重点和难点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。三、教学过程（一）自助探究问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？（二）自助提升(1)若两点在直线异侧，求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题。如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点。(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题。如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点。应用举例：如下左图所示，Ox、Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部，有一油库A，现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后到油库的路程最短，问两加油站应如何选址．（3）如上右图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路引导：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可。此时两线段应在同一平行方向上，平移AM到A′N，从A′到B应是余下的路程，连接A′B的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．（三）自助检测如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。