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xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长||11niiiMM的极限存在,则称此极限为曲线弧AB的弧长.一、平面曲线弧长的概念设曲线弧为)(xfy)(bxa,其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x,在],[ba上任取小区间],[dxxx,以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba二、直角坐标情形例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab例2计算曲线dnynx0sin的弧长)0(nx.解nnxny1sin,sinnxdxysba21dxnxn0sin1ntxndtt0sin1dtttttn0222cos2sin22cos2sindtttn02cos2sin.4n曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts三、参数方程情形例3求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长例4证明正弦线xaysin)20(x的弧长等于椭圆taytxsin1cos2)20(t的周长.证设正弦线的弧长等于1sdxys20211dxxa2022cos1设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa,20222dtyxs根据椭圆的对称性知dttats02222cos1sin2dxxa022cos12,1s故原结论成立.dtta022cos12曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs四、极坐标情形例5求极坐标系下曲线33sinar的长.)0(a)30(解drrs)()(22313cos3sin32ar,3cos3sin2adaa30242623cos3sin3sinda3023sin.23a例6求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ardrrs)()(22daa20222da2021.)412ln(412222a平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结
本文标题:大学课件 高等数学 下学期 5-4(定积分的几何应用平面曲线的弧长)
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