大学课件 高等数学 下学期 9-1(第一类曲线积分)

1/19第一型曲线积分的概念及性质第一型曲线积分的计算小结2/19(,,)fxyz若几何形体是空间曲线时，三元函数在曲线上的积分称为第一型曲线积分，记为：(,,)fxyzds一、第一型曲线积分的概念及性质1．第一型曲线积分的概念如果是封闭曲线，常记为d(,,)Lfxyzs3/19(,,)(,,).fxyzdsfxyz的物理意义表示以为线密度的非均匀有质曲线的质量2．第一型曲线积分的物理意义,1),(时当yxf上的表示立于当Lyxf),(SsL),(yxfzLsd(1)(2),),(处的高时柱面在点yxLsyxfd),(柱面面积弧长L3．第一型曲线积分的几何意义4/19(,,)fxyz当在光滑曲线弧上d(,,).Lfxyzs存在对弧长的曲线积分连续,4．存在条件注意,若是分段光滑的d12(,,)fxyzs12()d1(,,)fxyzsd2(,,)fxyzs(对路径具有可加性)5/19d[(,,)(,,)]fxyzgxyzsdd(,,)(,,)kfxyzsfxyzs(1)dd(,,)(,,)fxyzsgxyzs(2))(为常数kk(3)与积分路径的方向无关,即d(,,)fxyzs　d(,,)fxyzs　)(AB⌒)(BA⌒5．性质为简单起见，以平面曲线积分为例6/19在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数Lsyxfd),(是L上关于x的偶函数,d),(21LsyxfL1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质曲线L上连续,),(yxf设函数则,0当),(yxf(或y)(或y)当),(yxf(或x轴)(或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数与积分曲线L的对称性.),(yxf7/19例Lsyx.d)(3其中L是圆周.222Ryx解LLsysxdd3Lsyxd)(3,dLsx对因积分曲线L关于被积函数x是L上0dLsxLsy,d3对被积函数0d3Lsy因积分曲线L关于3y222Ryx对称性,计算得0是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数xyO8/19二、第一型曲线积分的计算定理),()()(ttytxL的参数方程为上在曲线弧设Lyxf),(上在],[)(),(tt其中且][f),(t)(t)(有定义且连续,具有一阶连续导数,Lsyxfd),(d22()()ttt9/19][f),(t)(t)(Lsyxfd),(（1）对弧长的曲线积分要求0ds，定积分的一定要小于上限d22()()ttt注：下限（2）(,),fxyxyL中的要满足的方程10/19特殊情形bxaxyL),(:Lsyxfd),()(baxxsd)(1d2baxf],[(1)xxd)(12)(xdycyxL),(:Lsyxfd),()(dc(2)dcyyf]),([yysd)(1d2yyd)(1211/19Lsyxfd),(d)()(]sin)(,cos)([22f),(:L(3))()(),(),(:ttztytx推广szyxfd),,(tttttttfd)()()()](),(),([222)(12/19例解例)20(.,sin,cos:,d的一段其中求kzayaxsxyzI解kaI202sincos22221kaka.)2,2(2,d2的一段上自原点到为其中求xyLsyIL20yI)155(31xy22)20(y22yxd22kayyd12对x积分?)2,2(xy22xyO13/19,d22Lyxse计算,:222ayxL由圆周轴及直线xxy在第一象限中所围图形的边界.ABLyxsed22⌒BOABOA提示解:OA,0yOAyxsed22xsd01d2:AB⌒,sin,cosayax40seAByxd22⌒d40aeaxeaxd01aeaae4,0axxyO例14/19AB:BO,xyseBOyxd22xsd11d2xeaxd222021aeLyxsed22故aaaee4)1(2.220axxyO15/19则其周长为为椭圆设,,13422ayxLLsyxxyd)432(22a12解Lsxyd20Lsyxd)43(1211222Lsyxd)34(1222sLd112a12对称性Lsyxxyd)432(220d22(34)Lxys16/19第一型曲线积分的概念及性质第一型曲线积分的计算公式三、小结(物理意义，几何意义，线性性质，与积分路径的方向无关，对积分路径的可加性等）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)