量纲分析法与无量纲化

量纲分析法与无量纲化量纲分析法与无量纲化量纲分析(DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的,在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上,利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、、J、和N；称为基本量纲。任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度，将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。动力学物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲M,L,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲122mmfGr加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=MLT-2万有引力常数G的量纲[G]对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)=M-1L3T-2量纲齐次原则描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系201()2StSvtat例：求单摆运动周期T的表达式lmgm2lTg设物理量T,m,l,g之间有关系式(,,,)0fTmlg0)(F假设等价于无量刚量关系式43122000yyyyTMLLTMLT342142000yyyyyMLTMLT001100010012[][][][]TMLTmMLTlMLTgMLT单摆运动中T,m,l,g的一般表达式(,,,)0fTmlg234140020yyyyy1122Tlg()lTg12341122(,,,)(1,0,,)TTyyyyy基本解3124yyyyTmlgy1~y4为待定常数,为无量纲量0)(FmjXqniaijij,,2,1,][1ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)设f(q1,q2,,qm)=0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,,qm的量纲可以表示为,}{mnijaA定义量纲矩阵rArank若线性齐次方程组0Ay有m-r个基本解，记作mjyjssjq1为m-r个相互独立的无量纲量,且则001110113111010212MALTlvgp[l]=L,[v]=LT-1,[]=ML-3,[p]=ML-1T-2,[]=ML-1T-1,[g]=LT-2量纲分析示例：（水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差管道两端压强差pmjXqniaijij,,2,1,][1管道长l,流速v,粘性系数,密度重力加速度g。mnijaA}{m=6,n=30(,,,,,)plvg0),,,(21mqqqf选取物理量123011212110010010001,,yyyy211121213vlvlvgpAy=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rmjyjssjq1m-r个无量纲量F(1,2,3)=0与(l,v,,p,,g)=0等价为得到差p的显式表达式F=0123(,)未定mjyjssjq1F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价222323(,)(,),pvv211121213vlvlvgp23ReynoldnumberFroudene;umbrRe::lvvFrgl隐函数定理[g]=LT-2,[l]=L,[]=ML-3,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=MLT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力fmjXqniaijij,,2,1,][1航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。mnijaA}{m=6,n=3(,,,,,)0glvsf0),,,(21mqqqf001001113121200102Aglfvs12300(1,0,)(0,1,)(0,0,)1TTTyyyflgslvlg13132221211,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rmjyjssjq1m-r个无量纲量0),,,(21mqqqf(,,,,,)0glvsfF(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f)=0等价flgslvlg13132221211为得到阻力f的显式表达式F=0),(213未定mjyjssjq1F(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价221213,),,(lsglvglf3.2量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf,,,,,~模型船的参数(均已知)131111211122111,,()flgvslgl可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力132122(),,flgvslgl111111,,,,,gvlsf~原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的相同2211,31311llff311lffl)(1结论：按一定尺寸比例造模型船，量测f，可算出f1~物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf量纲分析法的评注•物理量的选取•基本量纲的选取•基本解的构造•结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解•方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识3.3无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以减少参数，简化某些数学问题。1dxxxrKdt1rdyyydtr,K为正参数x具有量纲，且与K量纲相同,rtt时间无量纲化1dyyyd例1：简化常微分方程xyKx-y变量无量纲化简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。t具有量纲，且与1/r量纲相同卡丹公式（Cardano'sFormula）2323qp令，30xpxq23113312322,,,.ikkkqqxke3200,azbzczda3令bzxa例2：简化三次方程ckxbaxA3/1)(例3：简化非线性参数方程ckbaA,,,,5个参数323Aaadvvkk3kbkaaAuuc3axbu3,Aaadwkkwvv3bkdcauvu-v无量纲化acbkkwAaAa作业P602，4•利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少（a~e均为正参数）：[()][()]dxxaebydtdyycedxdt