角平分线模型精华篇

角平分线模型精华篇2角平分线有关的辅助线角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；结论：①△ACD≌△ABD；②CD=DB（角分线垂两边，对称全等必呈现）（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；结论：①△OPM≌△OPN；②△OMN为等腰三角形；③P是MN的中点（三线合一）；（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；3辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，结论：△OED≌△OFD；（4）作平行线①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形；已知：OP平分∠MON，AB∥ON，已知：OC平分∠AOD，DH∥OC，结论：△OAB等腰三角形结论：△ODH等腰三角形一、角平分线模型应用1.角平分线+两边垂线→全等三角形辅助线：过点G作GE射线AC已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB，求证：CD=DB4证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠1=∠2，∵CD⊥AC，DB⊥AB，∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD和△ABD中，∴△ACD≌△ABD（AAS）∴CD=BD例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．AD=AD90=ABD∠=ACD∠2∠=1∠5例3：如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D，求证：MN=12（AC-AB）.例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．求证：BD=2CE6例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：2AM=（AB+AC）7例：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，求证：EF∥BC.截取构造全等：例.如图，ABAC，∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。8例:如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.例:在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．ECDBPA9例:已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC角平分线+平行线模型例1、△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且MN∥BC交AB、AC分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+AC；ACBD10