三次样条拟合典型实例

1设计目的、要求对龙格函数22511)(xxf在区间[-1,1]上取10n的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出)(xf及各逼近函数的图形，比较各结果。2设计原理（1）多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：01,,...,nxxx表示待插值函数的1n个节点，0()()nnjkkjjkLxylxy，其中0,1,...,jn；011011()...()()...()()()...()...()...()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx（2）三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：00'()'Sxf'()'nnSxf（3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n=10，故有11个点，以这11个点的x和y值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为23432xiiiipaaxaxax，该拟合曲线只需2[]xiipy的值最小即可。3采用软件、设备计算机、matlab软件4设计内容1、多项式插值：在区间1,1上取10n的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图形。在matlab中建立一个lagrange.m文件，里面代码如下：%lagrange函数functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end建立一个polynomial.m文件，用于多项式插值的实现，代码如下：%lagrange插值x=[-1:0.2:1];y=1./(1+25*x.^2);x0=[-1:0.02:1];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y0,'--r')%插值曲线holdon%原曲线plot(x0,y1,'-b')运行duoxiangshi.m文件，得到如下图形：2、三次样条插值：所谓三次样条插值多项式()nSx是一种分段函数，它在节点ix011()nnaxxxxb分成的每个小区间1[,]iixx上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.iiiiiiiiiiiiiiiiihxxhxxSxxxMxxMyMyMhhhxxxin，，因此，只要确定了iM的值，就确定了整个表达式，iM的计算方法如下：令：11111111116()6(,,)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhyyyydfxxxhhhh，则iM满足如下1n个方程：1121,2,,1iiiiiiMMMdin，对于第一种边界条件下有000110111)'],([62]),['(62hfxxMMhxxffMMnnnnnn如果令100100016([,]')6('[,])1,,1,,nnnnnnfxxfffxxddhh那么解就可以为nnnnnnnddddMMMM110110111102222求函数的二阶导数：symsxf=sym(1/(1+25*x^2))f=1/(1+25*x^2)diff(f)ans=-(50*x)/(25*x^2+1)^2将函数的两个端点，代入上面的式子中：f’(-1)=0.0740f’(1)=-0.0740求出从-1到1的n=10的等距节点，对应的x，y值对应m文件代码如下：forx=-1:0.2:1y=1/(1+25*x^2)endy=得出x=-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81y=0.03850.05880.10.20.510.50.20.10.05880.0385编写m文件Three_Spline.mx=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);[m,p]=scyt1(x,y,0.0740,-0.0740);holdonx0=-1:0.01:1;y0=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y0,'--b')得到如下图像：.其中蓝色曲线为原图，红色曲线为拟合后的图像。3、三次曲线拟合：这里我们使用最小二乘法的3次拟合建立一个Three_fitting.m文件，代码如下：%主要代码x=[-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81];y=[0.03850.05880.10.20.510.50.20.10.05880.0385];a=polyfit(x,y,3);x1=[-1:0.01:1];y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.^2+a(1)*x1.^3;x0=[-1:0.01:1];y0=1./(1+25*x0.^2)%原曲线plot(x0,y0,'-r')holdon%三次拟合曲线plot(x1,y1,'-b')上图中，蓝色部分为三次拟合曲线，红色部分为原曲线6结果分析拉格朗日插值的优点是对于某一区域，不限于被估计点周围，公式简单易实施。一般认为n的次数越高，逼近)(xf的精度就越好，但在本题中，对龙格函数22511)(xxf，中间部分插值效果比较好，而对于两端，插值结果是非常不理想的，即龙格现象。样条函数可以给出光滑的插值曲线，从本题中就能体现出来。从以上图形可以看出，三次样条插值的图形是比较逼近于原图的，收敛性相对而言是非常好的，但在本题中，仅将原区间分成10个等距区间，因此，逼近效果还不是特别理想，当我们将n增大时，插值后的曲线越逼近于原曲线。总的来说，三次样条插值的稳定性比较好，收敛性比较强。在这三种方法中，三次曲线拟合的效果是最差的，所得的图形与原曲线差距甚远。最小二乘法中，并不要求拟合后的曲线经过所有已知的点，只需要拟合多项式上的点在某种标准上与定点之间的差距最小即可，因此与原曲线的逼近程度是最差的。最小二乘法的多项式拟合只适用于多项式，而本题中的函数并不是一个多项式，因此，不建议使用最小二乘法拟合。参考文献:[1]李庆扬王能超等.数值分析[M].清华大学出版社[2]吴振远.科学计算实验指导书基于MATLAB数值分析[M].中国地质大学出版社[3]宋叶志.MATLAB数值分析与应用[M].机械工业出版社,2009.07附录三次样条插值主要代码：function[m,p]=scyt1(x,y,df0,dfn)n=length(x);r=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=ones(n,1);r(1)=1;d(1)=6*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-df0)/(x(2)-x(1));u(n-1)=1;d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1)))/(x(n)-x(n-1));fork=2:n-1u(k-1)=(x(k)-x(k-1))/(x(k+1)-x(k-1));r(k)=(x(k+1)-x(k))/(x(k+1)-x(k-1));d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k))-(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-1)))/(x(k+1)-x(k-1));endA=eye(n,n)*2;fork=1:n-1A(k,k+1)=r(k);A(k+1,k)=u(k);endm=A\d;ft=d(1);symstfork=1:n-1%求s(x)即插值多项式p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k)));p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k)));p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)^3+p(k,2)*(t-x(k))^3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k));endkmax=1000;xt=linspace(x(1),x(n),kmax);fori=1:n-1%出点xt对应的y值fork=1:kmaxifx(i)=xt(k)&xt(k)=x(i+1)fx(k)=subs(sx(i),xt(k));endendendplot(xt,fx,'r');xlabel('x');ylabel('y');title('f');text(x(fix(n/2)),y(fix(n/2)),'f')holdonplot(x,y,'*')holdoff