人教版高考数学二轮总复习讲义课件第二部分应试高分策略学生阅读第1讲第2课时

第2课时分类讨论思想、转化与化归思想第二部分应试高分策略一、分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则地讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论(2)由数学运算要求而引起的分类讨论(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论(5)由参数的变化而引起的分类讨论分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略应试高分策略(2015·高考山东卷)设函数f(x)＝3x－b，x1，2x，x≥1.若f(f(56))＝4，则b＝()A．1B.78C.34D.12[解析]f(56)＝3×56－b＝52－b，若52－b1，即b32，则3×(52－b)－b＝152－4b＝4，解得b＝78，不符合题意，舍去；若52－b≥1，即b≤32，则252－b＝4，解得b＝12.D[名师点评](1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类．(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．1．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率是()A.32B.5C.32或52D.32或5D解析：因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4.当m＝4时，圆锥曲线y24＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝ca＝32；当m＝－4时，圆锥曲线x2－y24＝1是双曲线，其离心率e＝ca＝51＝5.综上知，选项D正确．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求|PF1||PF2|的值．[解]若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又由题意可知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，所以|PF1||PF2|＝72.若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，解得|PF1|＝4或2，又|PF1||PF2|，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.[名师点评](1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．2．已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A．－12B.12C．0D．－12或0D解析：不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可知斜率k的值为0或－12.(2015·长春统考)已知f(x)＝xex－ax2－x.(1)若f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，求f(x)的极小值；(2)当x≥0时，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围．[解](1)因为f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，所以f′(－1)＝0.因为f′(x)＝(x＋1)ex－2ax－1，所以2a－1＝0，a＝12.所以f′(x)＝(x＋1)ex－x－1＝(x＋1)(ex－1)，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(0)＝0.(2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，所以当x≥0时，g(x)≥0，从而f(x)≥0.若a1，则x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，g(0)＝0，故x∈(0，lna)时，g(x)0，从而f(x)0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．[名师点评]含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则．3．已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝mx－x36(m为实数)．(1)求曲线y＝f(x)在点Pπ4，fπ4处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间．解：(1)由题意得所求切线的斜率k＝f′π4＝cosπ4＝22.切点Pπ4，22，则切线方程为y－22＝22x－π4，即x－2y＋1－π4＝0.(2)g′(x)＝m－12x2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m0时，令g′(x)0，解得x－2m或x2m，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m，＋∞)．二、化归与转化思想化归与转化的原则常见的化归与转化的方法(1)熟悉化原则(2)简单化原则(3)直观化原则(4)正难则反原则(1)直接转化法(2)换元法(3)数形结合法(4)构造法(5)坐标法(6)类比法(7)特殊化方法(8)等价问题法(9)加强命题法(10)补集法化归与转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法(2015·呼伦贝尔二模)若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_____________．[解析]g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，－373，－5即m＋4≥2x－3x当x∈(t，3)时恒成立，所以m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x当x∈(t，3)时恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.所以函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373，－5.[名师点评]正难则反，利用补集求其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．4．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2解析：命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.故选C.C已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为___________．[解析]由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)0，即φ(a)0，所以φ（1）0，φ（－1）0，即3x2－x－20，3x2＋x－80，解得－23x1.故当x∈－23，1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0.－23，1[名师点评]在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．如本例是把关于x的函数转化为在[－1，1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．5．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1，1]恒成立，求x的取值范围．解：因为f(x)是R上的单调增函数，所以1－ax－x2≤2－a，a∈[－1，1]．(*)(*)式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0对a∈[－1，1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.则g（－1）＝x2－x＋2≥0，g（1）＝x2＋x≥0，解得x≥0或x≤－1，即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放