第五章-平面问题的复变函数解答1

第五章平面问题的复变函数解答要点：（1）应力函数、应力分量、位移分量、边界条件等的复变函数表示；（2）多连体中复位势函数的结构；应用：复杂边界形状及边界条件的问题。（3）复变函数解法的应用。§5-1应力函数的复变函数表示主要内容§5-2应力和位移的复变函数表示§5-3各个复变函数确定的程度§5-4边界条件的复变函数表示§5-5多连体中应力和位移的单值条件§5-6无限大多连体的情形§5-7保角变换与曲线坐标§5-8孔口问题§5-9椭圆孔口§5-10裂隙附近的应力集中§5-11正方形孔口§5-1应力函数的复变函数表示1、复变函数的基本概念xyO(x,y)(x,-y)yxyxziie)sini(cosz(1)复数的表示其中：i——为虚数单位；——复数z的模；——复数z的极角。)1i((2)共轭复数yxziyxziyxzi-ie)sini(cosz(3)复变函数的表示)(i),()(x,yvyxuzfw),,(yxu),(yxv分别为f(z)的实部和虚部。复变函数的共轭函数的表示)(i),()(x,yvyxuzfw)()(zfzfw一般而应将所有i换为–i.注意：复数z对应平面上的点，复变函数w=f(z)将平面z上的点变换为平面w上的点，将平面z上的图形变换为平面w上的图形，将平面z上的一个区域变换为平面w上的一个区域。因此，用复数和复变函数来描述和求解平面问题是十分自然的。)(Re),(zfyxu)(Im),(zfyxv记为：(4)解析函数的概念与性质如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解析。如果函数f(z)在区域D内每一点解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数。解析函数的概念：（1）解析函数的性质：两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数。（2）函数：)(i),()(x,yvyxuzf解析的充要条件：（a）),,(yxu),(yxv在定义域D上处处可微；（b）满足Cauchy-Riemann方程：xvyuyvxu,),,(yxu),(yxv称为互为共轭的调和函数。且满足Laplace方程：02222yuxu02222yvxv曲线族：1),(cyxu2),(cyxv互相正交。（3）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，则f(z)在D内任何一封闭曲线C的积分为零。0)(Cdzzf柯西—古萨（Cauchy-Goursat)定理（4）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，则f(z)的积分与路径无关。（4）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，则F（z）必为解析函数，且有)()(zfzFdzzfzFzz0)()(（5）（Cauchy积分公式）如果函数f(z)在单连域D内处处解析，C为D内任何一条简单闭曲线，它的内部完全属于D，z0为包含在C内的任一点，则有：Cdzzzzfzf00)(i21)(特别当1)(zf有：i210Cdzzz（6）设f(z)在以z=z0为圆心的圆内和圆周上是解析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：nnnzznzfzfzf)(!)()()(010)(0（7）设f(z)在以R1|z=z0|R2为圆环域内处处解析的，那么可展开成罗朗（Laurent）级数：nnnzzazf)()(0Cnndzzzzfa10)()(i21),2,1,0(n0z2、相容方程的复变函数表示yxziyxzi由，可知,1xzi,yz,1xziyz（1）复变数与直角坐标的导数关系（2）相容方程的复变函数表示本章中用U（x,y）表示应力函数，同时将应力函数视为复变数z,的函数。z),(zzUUxUxzzUxzzUUzzyUyzzUyzzUUzzi（5-1）yUxUizU2yUxUizU2（5-2）对式（5-1）进一步求导：22xUUzz222yUUzz2（5-3）22xU222222zUzzUzU22yU222222zUzzUzUU22222yUxU22xU222222zUzzUzU22yU222222zUzzUzUzzU24（5-4）由此可得：UU224016224zzU——相容方程的复变函数表示3.应力函数的复变函数表示将式（a）对复变量z各积分两次z)()()()(4321zzfzfzfzzfU（b）0224zzU（a）∵双调和函数量U为实函数，所以式（b）中应两两共轭，有)()(13zfzf)()(24zfzf式（b）可改写为)()(21zfzzfU)()(21zfzzf令：)(21)(11zzf)(21)(12zzf)()(2111zzzzU)()(11zz——古萨（Goursat）公式)()(Re11zzzU上式也可改写为：其中：)(1z)(1z分别为两解析函数。（5-5）（5-6）由此可见，在常量体力的平面问题中，应力函数U总可以用复变数z的两个解析函数φ1(z)和θ1(z)来表示，称为克罗索夫和穆斯赫利什维利(Kolosoff-Mushelishvili)函数。)()(2111zzzzU)()(11zz——古萨（Goursat）公式)()(Re11zzzU其中：)(1z)(1z分别为两解析函数。（5-5）（5-6）§5-2应力和位移的复变函数表示1、应力分量的复变函数表示假定不计体力，有,22yUx,22xUyyxUxy2（5-7）由方程（5-4）得2222yUxUzzU24（5-4）zzU24yx2222yUxU将式（5-5）代入，有xy)()(211zz)(Re41z（5-8）xyxyi2yxUyUxU22222i2xyxyi2Uyix2由式（5-2）：yUxUizU2可得：xyxyi2224zU将式（5-5）代入，有xyxyi2)()(211zzz令：)()(11zz——另一解析函数（a）xyxyi2)()(211zzz（5-9）xy)()(211zz)(Re41z（5-8）由式（5-9）可看出：)(1z)(1z（1）函数具有相同的量纲[力][长度]－1。（2）只要函数求得，则应力分量就可确定。)(1z)(1z2、位移分量的复变函数表示不妨考虑平面应力问题，有yxxuExyyvEyyx)1()(xyx)1()(xyyuxvE)()1(2（b）（c）（d）yxxuE)()(211zz22)1(xU)()(211zzx22)1(xUyxxuExyyvEyyx)1()(xyx)1()(xyyuxvE)()1(2（b）（c）（d）（e）由式(5-8)、(5-7)、(5-1)，得xyyuE)()(211zz22)1(yU)()(i211zzy22)1(yU（f）yx)()(211zz)(Re41z,22yUx,22xUyyxUxy2（5-7）xUUzzyUUzzi（5-1）（5-8）yxxuE)()(211zzx22)1(xU（e）xyyuE)()(i211zzy22)1(yU（f）对上两式分别就变量x，y积分，Eu)()(211zzxU)1()(1yfEv)()(i211zzyU)1()(2xf（g）式中f1、f2为任意函数。将上式中的第一、二式分别对y、x求导，有yuE)()(i211zzyxU2)1(dyydf)(1xvE)()(i211zzxyU2)1(dxxdf)(2将上式代入式（d）：xyyuxvE)()1(2得：yuE)()(i211zzyxU2)1(dyydf)(1xvE)()(i211zzxyU2)1(dxxdf)(2yxU2dxxdfdyydfyxU)()()1(2)1(21212yxU2（d）0)()(21dxxdfdyydf解此方程，有yuyf01)(xvxf02)(——代表刚体位移当不计刚体位移，其位移分量为Eu)()(211zzxU)1(Ev)()(i211zzyU)1(计算：?)i(vuEEu)()(211zzxU)1(Ev)()(i211zzyU)1()i(vuE)(41zyUixU)1(（h）利用式（5-2）中的第一式：yUxUizU2及式（5-5）式：)()(2111zzzzU)()(11zz得：yUxUizU2)()()(111zzzz)()()(111zzzz（i）将式（i）代入式（h）,有)i(vuE)(41z)()()()1(111zzzz)()()1()()3()(111zzzzivuE)()()(1)3(1)(111zzzzivuE等式两边同除以，有)1(（5-10）——位移分量的复变函数表示说明：（1）式（5-8）（5-9）（5-10）是由柯洛索夫（M.C.Kolossoff）首先得到的。（2）式（5-10）是就平面应力情形推导而得的，若为平面应变情形，则材料常数E、μ需作相应转换。即：)()()()43(1)(111zzzzivuE（3）若已知：，)(1z)(1z即可求出位移分量。例：已知,)(1Azz,2)(1Bzz式中A、B为复常数。试求其所对应的应力。解：由式（5-8）、（5-9）可知xyyxi2)()(211zzzyx)(Re41z将,)(1Azz,2)(1Bzz代入得yxARe4xyyxi2B22令,21iAAA,21iBBB其中A1、A2、B1、B1为实常数。(a)于是有：yx14Axyyxi2)(421iBB)(211BAx)(211BAy22Bxy对应于均匀应力状态§5-3各个复变函数确定的程度xy)(Re41zxyxyi2)()(211zzz)(Re