2008年河南专升本高等数学真题+真题解析

2008河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2分，共50分）1．函数()ln(1)2fxxx的定义域是（）A．2,1B．2,1C．2,1D．2,1【答案】C【解析】由1020xx可得21x，故选C．2．312coslimsin3xxx（）A．1B．0C．2D．3【答案】D【解析】3312cos2sinlimlim3sincos33xxxxxx，故选D．3．点0x是函数113131xxy的（）A．连续点B．跳跃间断点C．可去间断点D．第二类间断点【答案】【解析】110311lim1131xxx，11031lim131xxx，故选B．4．下列极限存在的是（）A．limxxeB．0sin2limxxxC．01limcosxxD．22lim3xxx【答案】B【解析】0sin2lim2xxx，其他三个都不存在，应选B．5．当0x时，2ln(1)x是比1cosx的（）A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但不等价无穷小【答案】D【解析】0x时，22ln(1)~xx，211cos~2xx，故选D．6．设函数11(1)sin,11()1,10arctan,0xxxfxxxx，则()fx（）A．在1x处连续，在0x处不连续B．在0x处连续，在1x处不连续C．在1,0x处均连续D．在1,0x处均不连续【答案】A【解析】1lim()1xfx，1lim()1xfx，(1)1()ffx在1x处连续；0lim()1xfx，0lim()0xfx，(0)1()ffx在0x处不连续，应选A．7．过曲线arctanxyxe上的点(0,1)处的法线方程为（）A．210xyB．220xyC．210xyD．220xy【答案】D【解析】211xyex，02xy，法线的斜率12k，法线方程为112yx，即220xy，故选D．8．设函数()fx在0x处满足，()(0)3()fxfxx，且0()lim0xxx，则(0)f（）A．1B．1C．3D．3【答案】C【解析】000()(0)3()()(0)limlim3lim30xxxfxfxxxfxxx，应选C．9．若函数()(ln)(1)xfxxx，则()fx（）A．1(ln)xxB．1(ln)(ln)ln(ln)xxxxxC．(ln)ln(ln)xxxD．(ln)xxx【答案】B【解析】ln(ln)()(ln)xxxfxxe，11()(ln)ln(ln)(ln)ln(ln)lnxxfxxxxxxxxx1(ln)(ln)ln(ln)xxxxx，故选B．10．设函数()yyx由参数方程33cossinxtyt确定，则224|tdydx（）A．2B．1C．423D．423【答案】D【解析】223sincossin3cossincosdydydttttdxdxdtttt，22dydx1ddydxdtdxdt2211cos3cossinxtt413cossintt，224|tdydx423，故选D．11．下列函数中，在区间1,1上满足罗尔定理条件的是（）A．xyeB．ln||yxC．21yxD．21yx【答案】C【解析】验证罗尔定理得条件，只有21yx满足，应选C．12．曲线352yxx的拐点是（）A．0xB．(0,2)C．无拐点D．0,2xy【答案】B【解析】235yx，6yx，令0y，得0x，当0x时，0y，当0x时，0y，故拐点为(0,2)，应选B．13．曲线1|1|yx（）A．只有水平渐进线B．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C．只有垂直渐近线D．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】1lim0|1|xx，曲线有水平渐近线0y；1lim|1|xx，曲线有垂直渐近线1x，故选B．14．如果()fx的一个原函数是lnxx，那么2()xfxdx（）A．lnxCB．2xCC．3lnxxCD．Cx【答案】D【解析】()(ln)1lnfxxxx，21()fxx，2()xfxdxdxxC，应选D．15．243dxxx（）A．13ln21xCxB．1ln3xCxC．ln(3)ln(1)xxCD．ln(1)ln(3)xxC【答案】A【解析】211113ln43(3)(1)23121dxdxxdxCxxxxxxx，应选A．16．设14011Idxx，则I的取值范围为（）A．01IB．112IC．04ID．14I【答案】B【解析】因01x，411121x，根据定积分的估值性质，有112I，故选B．17．下列广义积分收敛的是（）A．31xdxB．1lnxdxxC．1xdxD．0xedx【答案】D【解析】D项中001xxedxe，故收敛．18．331xdx（）A．3021xdxB．1331(1)(1)xdxxdxC．1331(1)(1)xdxxdxD．1331(1)(1)xdxxdx【答案】D【解析】3131333131111(1)(1)xdxxdxxdxxdxxdx，故选D．19．若()fx是可导函数，()0fx，且满足220()sin()ln221cosxfttfxdtt，则()fx（）A．ln(1cos)xB．ln(1cos)xCC．ln(1cos)xD．ln(1cos)xC【答案】A【解析】对220()sin()ln221cosxfttfxdtt两边求导有()sin2()()21cosfxxfxfxx，即sin()1cosxfxx，从而sin(1cos)()ln(1cos)1cos1cosxdxfxdxxCxx．由初始条件(0)ln2f，代入得0C，应选A．20．若函数()fx满足111()1()2fxxfxdx，则()fx（）A．13xB．12xC．12xD．13x【答案】C【解析】令11()afxdx，则1()12fxxa，从而11111()122afxdxxadxa，得1a，故1()2fxx，应选C．21．若320()eIxfxdx，则I（）A．20()exfxdxB．0()exfxdxC．201()2exfxdxD．01()2exfxdx【答案】C【解析】32222001()()2eeIxfxdxxfxdx，令2tx，则220011()()22eeItftdtxfxdx，故选C．22．直线24:591xyzL与平面:4375xyz的位置关系是（）A．斜交B．垂直C．L在内D．L【答案】D【解析】直线的方向向量(5,9,1)s，平面的法向量(4,3,7)n，由0sn得sn，而点(2,4,0)不在平面内，故平行，应选D．23．222200lim11xyxyxy（）A．2B．3C．1D．不存在【答案】A【解析】222222222222000000()(11)limlimlim(11)211xxxyyyxyxyxyxyxyxy，故选A．24．曲面22zxy在点(1,2,5)处的切平面方程为（）A．245xyzB．425xyzC．245xyzD．245xyz【答案】A【解析】令22(,,)Fxyzxyz，(1,2,5)2xF，(1,2,5)4yF，(1,2,5)1zF，得切平面方程为2(1)4(2)(5)0xyz，即245xyz，故选A．25．设函数33zxyxy，则2zyx（）A．6xyB．2233xyC．6xyD．2233yx【答案】B【解析】323zxxyy，22233zxyyx，应选B．26．如果区域D被分成两个子区域12,DD，且1(,)5Dfxydxdy，2(,)1Dfxydxdy，则(,)Dfxydxdy（）A．5B．4C．6D．1【答案】C【解析】根据二重积分的可加性，(,)6Dfxydxdy，应选C．27．如果L是摆线sin1cosxttyt上从点(2,0)A到点(0,0)B的一段弧，则曲线积分231(3)sin3xLxyxedxxyydy（）A．2(12)1eB．22(12)1eC．23(12)1eD．24(12)1e【答案】C【解析】因2PQxyx，从而此积分与路径无关，取直线段0xxy，x从2变成0，则002302221(3)sin333()3xxxxxLxyxedxxyydyxedxxdexee23(12)1e．28．通解为xCe（C为任意常数）的微分方程为（）A．0yyB．0yyC．1yyD．10yy【答案】B【解析】xyCe，xyCe，从而0yy，故选B．29．微分方程xyyxe的特解形式应设为*y（）A．()xxaxbeB．axbC．()xaxbeD．2()xxaxbe【答案】A【解析】特征方程为20rr，特征根为10r，21r，1是特征方程的单根，应设*y()xxaxbe，应选A．30．下列四个级数中，发散的是（）A．11!nnB．1231000nnnC．12nnnD．211nn【答案】B【解析】231lim01000500nnn，故级数1231000nnn发散，应选B．二、填空题（每小题2分，共30分）31．0lim()xxfxA的________条件是00lim()lim()xxxxfxfxA．【答案】充分必要（或充要）【解析】显然为充分必要（或充要）．32．函数sinyxx在区间(0,2)内单调________，其曲线在区间0,2内的凸凹性为________的．【答案】增加（或递增），凹【解析】1cos0yx在(0,2)内单调增加，sinyx在0,2内大于零，应为凹的．33．设方程22232xyza（a为常数）所确定的隐函数为(,)zfxy，则zx________．【答案】【解析】222(,,)32Fxyzxyza，则6xFx，2zFz，故3xzFzxxFz．34．1dxx________．【答案】22ln(1)xxC【解析】令tx，则2dxtdt，212122ln(1)22ln(1)211dxtdtdtttCxxCttx．35．331cosxdxx________．【答案】0【解析】1cosxyx在区间,33上是奇函数，故3301co