江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷

-1-江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式：一组样本数据nxxx,,,21，方差2211()niisxxn一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p：2,2xRx，则命题p的否定为▲.2．若复数iiiz其中,2)1(是虚数单位，则复数zz▲.3．已知函数2,0(),0xxfxxx，则((2))ff=▲.4．若123123,,,,2,3,3,3,,3nnxxxxxxxx的方差为则的方差为▲.5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45则tan=▲.7．直线110,lxky:210lkxy:，则1l∥2l的充要条件是▲.8．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)(a+3b)=33，则a与b的夹角为.9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S▲.10．设1F和2F为双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，若1F，2F，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为▲.11．函数2cosyxx在0,2上取最大值时，x的值是___▲___．12．我们知道若一个边长为a，面积为S的正三角形的内切圆半径23Sra，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S,体积为V,则其内切球的半径r▲.-2-13．设12a，121nnaa，211nnnaba，*nN，则2011b=w.w▲.14．图为函数()(01)fxxx的图象，其在点(())Mtft，lly处的切线为，与轴和直线1y分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数231()sin2cos22fxxxxR，．（Ⅰ）求函数()fx的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且3()0cfC，，若sin2sinBA，求a，b的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PDABCD平面，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点．（Ⅰ）证明：//PABDE平面；（Ⅱ）证明：ACPBD平面．17.(本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行yxOPMQN第17题GFEDCBAADCBPE-3-调节(BC足够长).现规划在ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S与种花的面积2S的比值12SS称为“草花比y”.(Ⅰ)设DAB,将y表示成的函数关系式；(Ⅱ)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?18.(本小题满分15分)已知C过点)1,1(P,且与M:222(2)(2)(0)xyrr关于直线20xy对称.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)设Q为C上的一个动点,求PQMQ的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C相交于BA,,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.19．（本小题满分16分）已知函数()lnafxxx.(Ⅰ)求函数()fx的单调增区间；(Ⅱ)若函数()fx在[1,]e上的最小值为32，求实数a的值；(Ⅲ)若函数2()fxx在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围．-4-20．（本小题满分16分）已知等差数列na的首项为a，公差为b，等比数列nb的首项为b，公比为a(其中,ab均为正整数)．(Ⅰ)若1122,abab，求数列na、nb的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,knnnaaaaa，，，12(3)knnn成等比数列，求数列kn的通项公式；(Ⅲ)若11223ababa，且至少存在三个不同的b值使得等式mnatbtN成立，试求a、b的值．附加题部分（满分40分）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA·PC；（2）若⊙O的半径为23，OA=3OM，求MN的长．OCMNAPB（第1题）班级姓名学号考试证号——————————————————————装——————订————————线——————————————————————————————-5-B．选修4－2：矩阵与变换试求曲线sinyx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=1002，N=10201．C．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：cossin和直线2sin42l:．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当(0,)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．D．选修4－5：不等式选讲用数学归纳法证明不等式：211111(1)12nnnnnnN且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根-6-据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望)(E．23．已知点F(0，1)，点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且满足0PMPF，PNPM0．（1）求动点N的轨迹C方程；（2）由直线y=-1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．-7-参考答案1、2,2xRx2、23、44、185、11006、147、18、1209、65010、211、612、34VS13、20122114、18,42715．解：（1）31cos21()sin2sin212226xfxxx，（3分）则()fx的最小值是－2，（4分）最小正周期是22T；（6分）（2）()sin210,sin2166fCCC则，110,022,2666CCC，2,623CC，（8分）sin2sinBA，由正弦定理，得12ab，①（10分）由余弦定理，得222222cos,33cabababab即，②由①②解得1,2ab．（14分）16．证明：（1）连结AC，设ACBDH，连结EH，在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又∵E为PC的中点，∴//EHPA，……………………………4分又EHBDE平面，且PABDE平面，∴//PABDE平面；……………………7分（2）∵PDABCD平面，ACABCD平面，∴PDAC，-8-由（1）得BDAC，又PDDBD，故ACPBD平面．……………14分17.解:(Ⅰ)因为tanBDa,所以ABD的面积为21tan2a((0,)2)…(2分)设正方形BEFG的边长为t,则由FGDGABDB,得tantantataa,解得tan1tanat,则2222tan(1tan)aS…………………………………………………………(6分)所以222212211tantantan22(1tan)aSaSa,则212(1tan)12tanSyS(9分)(Ⅱ)因为tan(0,),所以1111(tan2)1(tan)2tan2tany1…(13分)当且仅当tan1时取等号,此时2aBE.所以当BE长为2a时,y有最小值1……………………………(15分)18.解:(Ⅰ)设圆心C(,)ab,则222022212abba,解得00ab……………(3分)则圆C的方程为222xyr,将点P的坐标代入得22r,故圆C的方程为222xy……………………(5分)(Ⅱ)设(,)Qxy,则222xy,且(1,1)(2,2)PQMQxyxy…(7分)=224xyxy=2xy,所以PQMQ的最小值为4(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PAykx,-9-:1(1)PBykx,由221(1)2ykxxy,得222(1)2(1)(1)20kxkkxk…………………………………………(11分)因为点P的横坐标1x一定是该方程的解,故可得22211Akkxk…………(13分)同理,22211Bkkxk,所以(1)(1)2()1BABABAABBABABAyykxkxkkxxkxxxxxx=OPk所以,直线AB和OP一定平行……………………………………(15分)19、解：（1）由题意，()fx的定义域为(0,)，且221()axafxxxx．……2分①当0a时，()0fx，∴()fx的单调增区间为(0,)．………………(3分)②当0a时，令()0fx，得xa，∴()fx的单调增区间为(,)a．…4分（2）由（1）可知，2()xafxx①若1a，则0xa，即()0fx在[1,]e上恒成立，()fx在[1,]e上为增函数，∴min3[()](1)2fxfa，∴32a（舍去）．……………(6分)②若ae，则0xa，即()0fx在[1,]e上恒成立，()fx在[1,]e上为减函数，∴min3[()]()12afxfee，∴2ea（舍去）．………………………8分③若1ea，当1xa时，()0fx，∴()fx在(1,)a上为减函数，当axe时，()0fx，∴()fx在(,)ae上为增函数，∴min3[()]()ln()12fxfaa，∴ae综上所述，ae．………………………………………………………………10分-10-（3）∵2()fxx，∴2lnaxxx．∵0x，∴3lnaxxx在(1,)上恒成立……………………………12分令32()ln,()()1ln3gxxxxhxgxxx，则2116()6xhxxxx.∵1x，∴()0hx在(1,)上恒成立，∴()hx在(1,)上是减函数，∴()(1)2hxh，即()0gx，∴()gx在(1,)上也是减函数，∴()(1)1gxg．∴当2()fxx在(1,)恒成立时，1a．……………………………………16分20．解：（Ⅰ）由1122,abab得：ababab，解得：0ab或2ab，,abN，2ab，从而2,2nnnanb…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6aa