江苏省苏州市2021届数学高二上学期期末试卷

江苏省苏州市2021届数学高二上学期期末试卷一、选择题1．若实数x，y满足x10xy10xy10，则y的最大值是()A．1B．2C．3D．42．已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于()A.43B.83C.123D.2033．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（）A.11B.10C.9D.84．下列命题中，假命题是()A．，B．，C．的充要条件是D．，是的充分不必要条件5．抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）A.19B.118C.16D.1126．已知全集UR，集合2{|5140}Axxx，{|33}Bxx，则图中阴影部分表示的集合为（）A.(3,2]B.(2,3]C.(2,3]D.[3,7)7．命题“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是（）A．若0xy，则0x且0yB．若0xy，则0x或0yC．若0x或0y，则0xyD．若0x且0y，则0xy8．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15B．105C．120D．7209．已知向量，且，则m=()A．−8B．−6C．6D．810．己知一组样本数据12345x,x,x,x,x恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为A.25B.50C.125D.25011．在ABC中，2ABAC,AD是A的平分线，且ACtAD,则t的取值范围是()A．3,4B．41,3C．30,4D．3,1412．设椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线与C交于点P，Q.若212PFFF，且113||4||PFQF，则C的离心率为（）A.57B.35C.267D.265二、填空题13．函数43()4(0)fxaxaxba，[1,4]x，()fx的最大值为3，最小值为-6，则ab__________．14．若1,2,3A，2,4,1B，,1,3Cx是BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x____．15．若曲线21:Cyax(0)a与曲线2:xCye在0+，上存在公共点，则a的取值范围为16．一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________．三、解答题17．等差数列中，，，其前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为为，求证：.18．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求.20．如图,棱锥的地面是矩形,平面,,.（1）求证:平面;（2）求二面角的大小;21．在正方体1111ABCDABCD中.(Ⅰ)求证：11AC//平面ABCD；(Ⅱ)求二面角11ABDC的平面角的余弦值．22．已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若1coscossinsin2BCBC．（1）求角A的大小；（2）若23,4abc，求ABC的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题题号123456789101112答案BACCCDDBDBAA二、填空题13．114．-1115．2,4e16．丁三、解答题17．(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）等差数列中，根据，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）先求出，，根据裂项相消法求解即可.试题解析：（1）因为，，即，得，，所以．（2），，．【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．(1)(2)不存在满足条件的点【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得解得（2）由知为平行四边形,即的中点也是的中点.设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程，利用中点坐标公式以及韦达定理得坐标（用t表示），最后根据判别式大于零得t范围，得坐标范围，根据范围不在椭圆范围内，否定存在性试题解析：（1）由题意知：，aos又因为，，解得故椭圆的方程为．（2）椭圆上不存在这样的点.事实上，设直线的方程为,联立，得,，得.设，则，.由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点.于是设,,则,即，可得.因为,所以.若在椭圆上，则，矛盾.因此,不存在满足条件的点．19．(1)..(2).【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）消去参数α得，即C的普通方程为.由，得，（*）将，代入（*），化简得，所以直线l的倾斜角为.（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入并化简，得，，设A，B两点对应的参数分别为，，则，，所以，，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.20．（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用空间向量证明线面垂直，即证平面的一个法向量为，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明为平面的一个法向量，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用空间向量求二面角，先利用解方程组的方法求出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小试题解析:证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.（2）由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，∴故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得.21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】【分析】（Ⅰ）连接AC，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，再由线面平行的判定可得A1C1∥平面ABCD；（Ⅱ）找出二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，再由余弦定理求解．【详解】(Ⅰ)证明：连接AC，交BD于O，在正方体1111ABCDABCD中，11AA//CC，11AACC，四边形11AACC为平行四边形，则11AC//AC．AC平面ABCD，11AC平面ABCD，11AC//平面ABCD；(Ⅱ)连接1AO，1CO，则1AOBD，1COBD，即11AOC为二面角11ABDC的平面角．设正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则11AC2，1116AOCO122．在11AOC中，221166()()2122cosAOC366222．二面角11ABDC的平面角的余弦值为13．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是关键，是中档题．22．（1）23A；（2）3.【解析】【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出cosBC的值，确定出BC的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与bc的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积.【详解】(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝，∴cos(B＋C)＝.∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝.∴cosA＝－.又∵0Aπ，∴A＝.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA.则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos.∴12＝16－2bc－2bc·(－)．∴bc＝4.∴S△ABC＝bc·sinA＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosabcbcA；（2）222cos2bcaAbc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.