新版高考数学一轮复习：《集合》教学案(含解析)

11第一节集__合[知识能否忆起]一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.3．常见集合的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN*或N＋ZQR4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．二、集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有AB或BA空集空集是任何集合的子集∅⊆B空集是任何非空集合的真子集∅B(B≠∅)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}[小题能否全取]1．(20xx·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D解析：选B选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.2．(20xx·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)解析：选B因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是()A．2B．2或3C．1或3D．1或2解析：选D验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．4.(20xx·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}．答案：{2,8}5．(教材习题改编)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝xx＝2n－1，x，n∈Z，则∁UA＝________.解析：因为A＝xx＝2n－1，x，n∈Z，当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；n≤－2时，x∉Z.故A＝{－2,2,1，－1}，又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．元素与集合典题导入[例1](1)(20xx·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)20xx＝________.[自主解答](1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.(2)由M＝N知n＝1，log2n＝m或n＝m，log2n＝1，∴m＝0，n＝1或m＝2，n＝2，故(m－n)2013＝－1或0.[答案](1)D(2)－1或0由题悟法1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．以题试法1．(1)(20xx·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为()A．9B．8C．7D．6(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．(2)∵－3∈A，∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.∴a＝－1或a＝－32.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3.∴a＝－32满足条件．答案：(1)B(2)－32集合间的基本关系典题导入[例2](1)(20xx·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.[自主解答](1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)由log2x≤2，得0x≤4，即A＝{x|0x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a4，即c＝4.[答案](1)D(2)4由题悟法1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．以题试法2．(文)(20xx·郑州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m的值为()A．3B．2C．2或3D．0或2或3解析：选D当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，由B＝6m⊆{2,3}可得6m＝2或6m＝3，解得m＝3或m＝2，综上可得实数m＝0或2或3.(理)已知集合A＝{y|y＝－x2＋2x}，B＝{x||x－m|2013}，若A∩B＝A，则m的取值范围是()A．[－2012,2013]B．(－2012,2013)C．[－2013,2011]D．(－2013,2011)解析：选B集合A表示函数y＝－x2＋2x的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0,1]．集合B是不等式|x－m|2013的解集，解之得m－2013xm＋2013，所以B＝(m－2013，m＋2013)．因为A∩B＝A，所以A⊆B.如图，由数轴可得m－20130，m＋20131，解得－2012m2013.集合的基本运算典题导入[例3](1)(20xx·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪NB．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN)D．(∁UM)∩(∁UN)(2)(20xx·安徽合肥质检)设集合A＝{x|x2＋2x－80}，B＝{x|x1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|－4x2}C．{x|－8x1}D．{x|1≤x2}[自主解答](1)∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．(2)∵x2＋2x－80，∴－4x2，∴A＝{x|－4x2}，又∵B＝{x|x1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x2}．[答案](1)D(2)D将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．解：由M∩N＝N得M⊇N.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．由题悟法1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．以题试法3．(20xx·锦州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁UA)∩B等于()A．{x|x2，或x0}B．{x|1x2}C．{x|1x≤2}D．{x|1≤x≤2}解析：选CA＝{x|x(x－2)0}＝{x|x2，或x0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－10}＝{x|x1}，∁UA＝{x|0≤x≤2}．∴(∁UA)∩B＝{x|1x≤2}．1．(20xx·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{x|－1x1}，则()A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝∅解析：选BA＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，B＝{x|－1x1}，所以BA.2．(20xx·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2B．3C．4D．8解析：选C依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0}B．{3,0,1}C．{3,0,2}D．{3,0,1,2}解析：选B因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．4．(20xx·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝()A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3}D．{2,4,6}解析：选B因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．5．(20xx·合肥质检)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足AB的实数a的一个值为()A．0B．1C．2D．3解析：选D当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a＝3时满足条件．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|x2－7x＋100}，则∁U(A∩B)＝()A．(－∞，3)∪(5，＋∞)B．(－∞，3]∪[5，＋∞)C．(－∞，3)∪[5，＋∞)D．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选Cx2－7x＋1