2011年上海高考数学（理）试题

2011年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试题（理科）一、填空题（56分）1、函数1()2fxx的反函数为1()fx。[from:]2、若全集UR，集合{|1}{|0}Axxxx，则UCA。3、设m为常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则m。4、不等式13xx的解为。[来源:学|科|网]5、在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角大小为。6、在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若0075,60CABCBA，则A、C两点之间的距离是千米。7、若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为。8、函数sin()cos()26yxx的最大值为。9、马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E。[来源:学科网ZXXK]10、行列式abcd（,,,{1,1,2}abcd）的所有可能值中，最大的是。11、在正三角形ABC中，D是BC上的点，3,1ABBD，则ABAD。12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。13、设()gx是定义在R上、以1为周期的函数，若()()fxxgx在[3,4]上的值域为[2,5]，则()fx在区间[10,10]上的值域为。14、已知点(0,0)O、0(0,1)Q和0(3,1)R，记00QR的中点为1P，取01QP和10PR中的一条，记其?!?321P(ε=x)x端点为1Q、1R，使之满足11(||2)(||2)0OQOR；记11QR的中点为2P，取12QP和21PR中的一条，记其端点为2Q、2R，使之满足22(||2)(||2)0OQOR；依次下去，得到点12,,,,nPPP，则0lim||nnQP。二、选择题（20分）15、若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（）A222ababB2ababC112ababD2baab[来源:Zxxk.Com]16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数为〖答〗（）A1ln||yxB3yxC||2xyDcosyx17、设12345,,,,AAAAA是空间中给定的5个不同的点，则使123450MAMAMAMAMA成立的点M的个数为〖答〗（）A0B1C5D1018、设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件为〖答〗（）A{}na是等比数列。B1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列。C1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列。D1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同。三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z满足1(2)(1)1zii（i为虚数单位），复数2z的虚部为2，12zz是实数，求2z。[来源:学#科#网Z#X#X#K]20、（12分）已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab。⑴若0ab，判断函数()fx的单调性；⑵若0ab，求(1)()fxfx时x的取值范围。21、（14分）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，1O是11AC和11BD的交点。⑴设1AB与底面1111ABCD所成的角的大小为，二面角111ABDA的大小为。求证：tan2tan；⑵若点C到平面11ABD的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD的高。[来源:学|科|网]22、（18分）已知数列{}na和{}nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN），将集合**{|,}{|,}nnxxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,ncccc。⑴求1234,,,cccc；[来源:学。科。网]⑵求证：在数列{}nc中、但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa；⑶求数列{}nc的通项公式。[来源:Z&xx&k.Com]O1DCBAD1C1B1A123、（18分）已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作(,)dPl。⑴求点(1,1)P到线段:30(35)lxyx的距离(,)dPl；⑵设l是长为2的线段，求点集{|(,)1}DPdPl所表示图形的面积；⑶写出到两条线段12,ll距离相等的点的集合12{|(,)(,)}PdPldPl，其中12,lABlCD，,,,ABCD是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD。[来源:学.科.网]②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD。③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。2011年上海高考数学试题（理科）答案一、填空题1、12x；2、{|01}xx；3、16；4、0x或12x；5、25arccos5；6、6；7、33；[来源:学+科+网]8、234；9、2；10、6；11、152；12、0.985；13、[15,11]；14、3。二、选择题15、D；16、A；17、B；18、D。三、解答题19、解：1(2)(1)1zii12zi………………（4分）设22,zaiaR，则12(2)(2)(22)(4)zziaiaai，………………（12分）[来源:Z*xx*k.Com]∵12zzR，∴242zi………………（12分）[来源:Zxxk.Com]20、解：⑴当0,0ab时，任意1212,,xxRxx，则121212()()(22)(33)xxxxfxfxab∵121222,0(22)0xxxxaa，121233,0(33)0xxxxbb，∴12()()0fxfx，函数()fx在R上是增函数。当0,0ab时，同理，函数()fx在R上是减函数。⑵(1)()2230xxfxfxab当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb。21、解：设正四棱柱的高为h。[来源:Z§xx§k.Com]⑴连1AO，1AA底面1111ABCD于1A，∴1AB与底面1111ABCD所成的角为11ABA，即11ABA∵11ABAD，1O为11BD中点，∴111AOBD，又1111AOBD，∴11AOA是二面角111ABDA的平面角，即11AOA∴111tanAAhAB，111tan22tanAAhAO。⑵建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)AhBDCh11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABhADhAC设平面11ABD的一个法向量为(,,)nxyz，∵111100nABnABnADnAD，取1z得(,,1)nhh∴点C到平面11ABD的距离为22||043||1nAChhdnhh，则2h。22、⑴12349,11,12,13cccc；A1B1C1D1ABCDO1zyxA1B1C1D1ABCDO1⑵①任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即2132nnab②假设26627nkanbk*132knN（矛盾），∴2{}nnab∴在数列{}nc中、但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa。⑶32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk∵63656667kkkk∴当1k时，依次有111222334,,,bacbcacbc，……∴*63(43)65(42),66(41)67(4)nknkknkckNknkknk。23、解：⑴设(,3)Qxx是线段:30(35)lxyx上一点，则[来源:学科网]22259||(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x时，min(,)||5dPlPQ。⑵设线段l的端点分别为,AB，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)AB，点集D由如下曲线围成12:1(||1),:1(||1)lyxlyx，222212:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx其面积为4S。⑶①选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD，{(,)|0}xyx②选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD。2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}xyxyxyyxyxyxyx③选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。{(,)|0,0}{(,)|,01}xyxyxyyxx2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}xyxyxxyxyx1-1-11yxOBADB=CA122.5yx-2xy-113ABCDO[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]ODCBA31-1yx