2013高中数学奥数培训资料之立体图形

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）§19立体图形，空间向量一.直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1．运用定义证明(有时要用反证法);2．运用平行关系证明;3．运用垂直关系证明;4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线a直线b时.可以这样考虑(1)运用定义证明直线a与b所成的角为090;(2)运用三垂线定理或其逆定理;(3)运用“若a平面,b,则ab”;(4)运用“若//bc且ac,则ab”;(5)建立空间直角坐标系,证明0ab.二.空间中的角和距离的计算1．求异面直线所成的角(1)(平移法)过P作'//aa,'//bb,则'a与'b的夹角就是a与b的夹角;(2)证明ab(或//ab),则a与b的夹角为090(或00);(3)求a与b所成的角([0,]),再化为异面直线a与b所成的角((0,]2).2,求直线与平面所成的角(1)(定义法)若直线a在平面内的射影是直线b,则a与b的夹角就是a与的夹角;(2)证明a(或//a),则a与的夹角为090(或00);(3)求a与的法向量n所成的角,则a与所成的角为090或090.3．求二面角(1)(直接计算)在二面角AB的半平面内任取一点PAB,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则CDAB,故PCD为所求的二面角.(2)(面积射影定理)设二面角AB的大小为(090),平面内一个平面图形F的面积为1S,F在内的射影图形的面积为2S,则21cosSS.(当为钝角时取“”).(3)(异面直线上两点的距离公式):22222cosEFdmnmn,其中是二面角AB的平面角,EA在半平面内且EAAB于点A,BF在半平面内且FBAB于B,而ABd,EAm,FBn.(4)(三面角的余弦定理),三面角SABC中,BSC,CSA,ASB,又二面角BSAC,则coscoscoscossinsin.(5)(法向量法)平面的法向量1n与平面的法向量2n所成的角为,则所求的二面角为(同类)或(异类).4.求两点A,B间距离(1)构造三角形进行计算;(2),导面直线上两点间的距离公式;(3),求AB.5.求点到直线的距离(1)构造三角形进行计算;(2)转化为求两平行红色之间的距离.6.求点到平面的距离(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度;(2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(3)(体积法)转化为求一个棱锥的高3VhS,其中V为棱锥体积,S为底面面积,h为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求AP与平面的法向量n的夹角的余弦cos,则点P到平面的距离为cosdAP.7.求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长;(2)(体积法)转化为求几何体的高;(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线,ab在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线l,则a与b的距离等于P到l的距离;(6)(公式法)22222cosdEFmnmn.8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.三.多面体与旋转体1.柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积Scl侧(c为直截面周长,l为侧棱或母线长)(2)体积VSh(S为底面积,h为高)2.锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积'12Sch侧(c为底面周长,'h为斜高)(2)圆锥的侧面积:Srl侧(r为底面周长,l为母线长)(3)锥体的体积:13VSh(S为底面面积,h为高).3.锥体的平行于底面的截面性质:23111123,ShVhShVh.4.球的表面积:24SR;球的体积:343VR.ABCD四.解题思想与方法导引1.空间想象能力;2.数形结合能力;3.平几与立几间的相互转化;4.向量法例题讲解1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为()A,1:2B,1:3C,1:4D,1:92．由曲线24xy,24xy,4x,4x围成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为1V;满足2216xy,22(2)4xy,22(2)4xy的点(,)xy组成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为2V,则()A,1212VVB,1223VVC,12VVD,122VV3．如右图,底面半径1r,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心率为22的椭圆,若圆柱母线截后最短处1AB,则截面以下部分的几何体体积是()A,32B,2C,D,2(1)24．在四面体ABCD中,设1AB,3CD,直线AB与CD的距离为2,夹角为3,则四面体ABCD的体积等于()A,32B,12C,13D,335．三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1,那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是()A,21B,212C,512D,5146．四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为123456,,,,,MMMMMM,共10个点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是()A,57B,710C,2435D,4770ABABCA1B1C1ABCDMKNS7．正方体''''ABCDABCD的棱长为a,则异面直线C'D与BD间的距离等于.8．正四棱锥SABCD中,045ASB,二面角ASBC为且cosmn,(m,n为整数),则mn.9．在正三棱锥PABC中,ABa,2PAa,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面ADE的周长最小时,ADES,P到截面ADE的距离为.10．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于.11．三个1212的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为.12．直三棱柱111ABCABC中,平面1ABC平面11ABBA,且AC=13AA,则AC与平面1ABC所成的角的取值范围是.13．如图,直三棱柱111ABCABC中,ACBC,连接1AB,1BC,1CA,若11ABBC,求证:11ABCA14．如图,设SABCD是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,K是棱SC的中点,过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N(M,N可以是线段的端点).试求四棱锥SAMKN的体积V的最大值与最小值.15．有一个mnp的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)mnp的长方体盒子,其中,,mnp均为正整数(mnp),并且前者的体积是后者一半,求p的最大值.课后练习ABCDEF1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为()A,3827aB,38327aC,313aD,389a2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为()A,3:2:1B,2:3:1C,3:6:2D,6:8:33．设二面角a的大小是060,P是二面角内的一点,P点到,的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱a的距离是()A,2213cmB,213cmC,23cmD,4213cm4．如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=a,则此正三棱锥的体积是()A,324aB,3224aC,3212aD,3312a5．棱长为的正八面体的外接球的体积是()A,6B,4327C,823D,236．若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面的位置关系是.7．若异面直线,ab所原角为060,AB是公垂线,E,F分别是异面直线,ab上到A,B距离为2和平共处的两点,当3EF时,线段AB的长为.8．如图(1),在直四棱柱1111ABCDABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有1AC1B1D(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)CDFABOCDEOAABCDPQ9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:①AB与EF所连直线平行;②AB与CD所在直线异面;③MN与BF所在直线成060;④MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将ADE沿DE折起来使得A到1A,且1ADEB为060的二面角,求1A到直线BC的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(0)a,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角QPDA的正切.课后习题答案ABCDABCD图(1)ABENM图(2)1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,1O为底面ABC的中心,设正四面体VABC的棱长为m,则AM=32m=VM,1OM=1336AMm,12333OAAMm,221163VOVMOMm,得1163OOVOVOma在1RtAOO中,22211AOOOAO,即22263()()33amam,得263ma.则1VO43a,有20311183(sin60)3227VABCVmVOa.选B.温馨提示:正四面体外接球的半径VO:内切球的半径1OO=1:3:13aa.2．32212341::():(2):(2)2:3:133VVVRRRRR,选B.3．设PA棱a于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=t,PAM,则0sin1sin(60)2tt,得3cos5sin,有3sin27或327(舍去),所以121sin3tcm,选B.4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由对称性得090BACCADBAD,于是22ABACADa.3112222()3222224BACDVaaaa,选B.5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有22r,得22r,外接球的体积34233Vr,选D.6．当2AB时,AB//;当2AB时,AB//或AB;当2AB时,AB//或与斜交.7．由EFEAABBF,得22222cosEFEAABBFEABF(1)当060时,有219412212AB,得2AB;(2)当0120时,有219412212AB,得6AB.8．ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9．将展开的平面图形还原为正方体NACFEMBD,可得只②,④正确.10．解:设ABC的高AO交DE于点1O,令1AOx,由AO=2213512,有112OOx,在11AOO中,01160AOO,有222011111112cos60AOAOOOAOOO得213(6)36AOx.当6x时,1A到直线BC的最小距离为6.11．解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设BQx,则Q(1,,0)x,P(0,0,1),D(0,,0)a得(1,,1)PQx,(1,,