专题44-数列的求和(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题44数列的求和专题知识梳理1．公式法如果通项是等差或等比数列，则直接利用公式进行求和．等差数列{an}前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d．等比数列{an}前n项和公式：q＝1时，Sn＝__na1__；q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q．2．分组求和法如果一个数列的通项形如an±bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则把它们分别求和．3．错位相减法如果一个数列的通项形如anbn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则用两式错位相减法．其实，_等比__数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法如果一个数列的通项是分式型数列，则可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1n（n＋1）＝1n－1n＋1，1（2n－1）（2n＋1）＝12(12n－1－12n＋1)，1n＋n＋1＝n＋1－n．5．倒序相加法如果一个数列{an}的通项满足，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法．如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050．7．常见数列的前n项和公式：(1)1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2；(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(3)12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师考点探究考向1利用“分组求和法”求和【例】求和：（1）Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.（2）1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)．【解析】原式中通项为an＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝11()122(1)1212kk∴Sn＝21－12＋1－122＋…＋1－12n＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.（2）数列{an}的通项an＝n(3n＋1)＝3n2＋n，把数列分成了两个数列，分别求和．1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝(3×12＋1)＋(3×22＋2)＋(3×32＋3)＋…＋(3n2＋n)＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝3·n(n＋1)(2n＋1)6＋n(n＋1)2＝n(n＋1)2.题组训练1.在数列{an}中，a1＝－2101，且当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100＝____．【解析】∵2≤n≤100，∴2≤102－n≤100，将an＋2a102－n＝3×2n中的n换成102－n得，a102－n＋2an＝3×2102－n，消去a102－n得，an＝2103－n－2n，∴S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝－2101＋(2101－22)＋(2100－23)＋(299－24)＋…＋(23－2100)＝－4.2.已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋3n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝___．【解析】数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋3n－1，∴数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1＋3×1－1)＋(22－1＋3×2－1)＋…＋(2n－1＋3×n－1)＝(21－1＋22－1＋…＋2n－1)＋(3×1＋3×2＋…＋3×n)＋…＋n×(－1)＝2n－1＋3×n（n＋1）2－n＝2n＋32n2＋12n－1.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师考向2利用“裂项相消法”求和【例】设{}na是等比数列，公比大于0，其前n项和为*(nSnN），{}nb是等差数列.已知：1321,2aaa，435546,2abbabb．（I）求{}na和{}nb的通项公式；（II）设数列{}nS的前n项和为*(nTnN），（i）求nT；（ii）证明.【解析】（I）设数列{}na的公比为q，代入1321,2aaa，得220,qq2q或1q（舍去）又11,a故1=2nna.设等差数列{}nb的公差为d，代入435546,2abbabb，中，得11268,31316bdbd，解得11,1bd，nbn．（II）（i）由（I）得122112nnnS，故.（ii）因为，所以.题组训练1.求和：11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝___．【解析】因1nn＋1＝1n－1n＋1，故Sn＝1－12+12-111++31nn=1-1n＋1＝nn＋1.2.已知数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，则该数列的前____项之和等于9.【解析】111nannnn，12213nnSaaa中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师21nn=11n=9，所以解得n=993.已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn及Tn的最小值．【解析】(1)∵(an＋1)2＝4Sn，∴Sn＝（an＋1）24，Sn＋1＝（an＋1＋1）24，∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝（an＋1＋1）2－（an＋1）24，即4an＋1＝a2n＋1－a2n＋2an＋1－2an，∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)．∵an＋1＋an≠0，∴an＋1－an＝2，即{an}是公差为2的等差数列，由(a1＋1)2＝4a1，解得a1＝1，∴an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝1（2n－1）（2n＋1）＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1)－12n＋1)＝121－12n＋1＝12－12（2n＋1）＝n2n＋1.∵Tn＋1－Tn＝12－12（2n＋3）－12－12（2n＋1）＝12（2n＋1）－12（2n＋3）＝1（2n＋1）（2n＋3）＞0，∴Tn＋1Tn，∴数列{Tn}为递增数列，∴Tn的最小值为T1＝13.考向3利用“倒序相加法”求和【例】已知函数f(x)＝4x4x＋2，求f(12018)＋f(22018)＋f(32018)＋…＋f(20172018)的值．【解析】∵f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝42×4x＋4＝24x＋2，∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋24x＋2＝1.令S＝f(12018)＋f(22018)＋f(32018)＋…＋f(20172018)，则S＝f(20172018)＋f(20162018)＋f(20152018)＋…＋f(12018)，两式相加得，2S＝2017[f(12018)＋f(20172018)]＝2017，∴S＝20172，即f(12018)＋f(22018)＋f(32018)＋…＋f(20172018)＝20172.题组训练中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师1.求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°的值．【解析】设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°，①将①式右边反序得S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin23°＋sin22°＋sin21°，②又∵sinx＝cos(90°－x)，sin2x＋cos2x＝1.①＋②得2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，∴S＝44.5.考向4利用“错位相减法”求和【例】已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列221{}nnab的前n项和()nN.【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q.由已知2312bb，得21()12bqq，而12b，∴260qq.又∵0q，解得2q.∴2nnb.由3412baa，可得138da①，由114=11Sb，可得1516ad②，联立①②，解得11a，3d，由此可得32nan.∴数列{}na的通项公式为32nan，数列{}nb的通项公式为2nnb.（2）设数列221{}nnab的前n项和为nT，由262nan，12124nnb，有221(31)4nnnabn，∴23245484(31)4nnTn，23414245484(34)4(31)4nnnTnn，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn得1328433nnnT.∴数列221{}nnab的前n项和为1328433nn.题组训练1.已知{an}为等比数列，其中a1＝1，且a2，a3＋a5，a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设在等比数列{an}中，公比为q，∵a1＝1，且a2，a3＋a5，a4成等差数列，∴2(a3＋a5)＝a2＋a4∴2(q2＋q4)＝q＋q3，解得q＝12，∴an＝(12)n－1.(2)∵an＝(12)n－1，∴bn＝(2n－1)an＝(2n－1)(12)n－1，∴Tn＝1·1＋3·12＋5·(12)2＋…＋(2n－1)·(12)n－1，①12Tn＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n－1)·(12)n，②①－②，得：12Tn＝1＋2·12＋（12）2＋…＋（12）n－1－(2n－1)·(12)n＝1＋2－(2n－1)·(12)n＝3－2n＋32n，∴Tn＝6－2n＋32n－1.2.（2018·无锡模拟）在等差数列na中，已知13240,2aaaa，则数列12nna的前10项和为．【解析】241322aaaad，所以d=-1，得11,2naan，设012112311112222nnnSaaaa○1，将○1两边乘以12，得111122nSa23123111112222nnnnaaaa