圆锥曲线中面积的最值问题

圆锥曲线中面积的最值问题1（本小题共14分）已知抛物线24yx，点(1,0)M关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于,AB两点．（Ⅰ）证明：直线,NANB的斜率互为相反数；（Ⅱ）求ANB面积的最小值；（Ⅲ）当点M的坐标为(,0)(0mm，且1)m．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NANB的斜率是否互为相反数？②ANB面积的最小值是多少？2．（本题满分14分）已知椭圆)0(12222babyax的离心率为36，长轴长为32，直线mkxyl:交椭圆于不同的两点A、B。（1）求椭圆的方程；（2）求kOBOAm求且,0,1的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线l的距离为23，求AOB面积的最大值。3．（本小题共14分）已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点)0,32(A是其左顶点，点C在椭圆上且.||||,0COACCOAC（I）求椭圆的方程；（II）若平行于CO的直线l和椭圆交于M，N两个不同点，求CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.4.已知椭圆E：2212516xy，点P(,)xy是椭圆上一点。（1）求22xy的最值。（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。xNMOyABl:x=t5.设直线)1(:xkyl与椭圆)0(3222aayx相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（I）证明：222313kka；（II）若OABCBAC求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.6.如图，已知⊙O：2226403xymmm及点M60,3m，在⊙O上任取一点M′，连MM′，并作MM′的中垂线l，设l与OM′交于点P，若点M′取遍⊙O上的点.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线:(1)(0)lykxk与轨迹C相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若2,ADDBOAB求的面积取得最大值时的椭圆方程．7.已知抛物线y2＝2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.8、如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线922yx(x0,y0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.9．已知椭圆2214xy的左、右两个顶点分别为A，B，直线(22)xtt与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2．(1)求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；(2)当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．答案：：：：：：：：：：1解：（Ⅰ）设直线l的方程为1(0)ykxk．由21,4,ykxyx可得2222240kxkxk．设1122,,,AxyBxy，则21212224,1kxxxxk．124yy1,0N1212221212441144NANByyyykkxxyy2212212112222212124444(4444)04444yyyyyyyyyyyy．又当l垂直于x轴时，点,AB关于x轴，显然0,NANBNANBkkkk．综上，0,NANBNANBkkkk．----------------5分（Ⅱ）212121212448NABSyyyyyyxx=21414k．当l垂直于x轴时，4NABS．∴ANB面积的最小值等于4．----------------10分（Ⅲ）推测：①NANBkk；②ANB面积的最小值为4mm．----------------14分2解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意3,36aac解得2c由.1,222bcba得2分所求椭圆方程为.1322yx3分（2）.1,1kxym设),(),,(2211yxByxA，其坐标满足方程11322kxyyx消去y并整理得,06)31(22kxxk则00)31(4)6(22kk，解得0k5分故0,31621221xxkkxx6分0OBAO1)()1()1()1(2121221212121xxkxxkkxkxxxyyxx7分0133113160)1(2222kkkkkk33k8分（3）由已知231||2km，可得)1(4322km9分将ymkx代入椭圆方程，整理得.0336)31(222mkmkxxk(*)0)33)(31(4)6(222mkkm.3133,3162221221kmxxkkmxx10分]13)1(12)13(36)[1())(1(2|2222222122|kmkmkkxxkAB22222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12kkkkmkk11分)0(463212361912316912322242kkkkkk12分当且仅当2219kk，即33k时等号成立，经检验，33k满足（*）式当0k时，3|AB13分综上可知.2||maxAB当|AB最大时，AOB的面积最大值2323221S14分3解：（I）设椭圆的标准方程为),0(12222babyax.||||,),0,32(COACCOACA左顶点),3,3(,122Ca点又∵C在椭圆上，,4,1312322bb∴椭圆的标准方程为.141222yx…………5分（II）设),,(),,(2211yxNyxM∵CO的斜率为-1，∴设直线l的方程为,mxy代入141222yx4123230)123(4436,012364221212222mxxmxxmmmmxx,431224)(2||221221mxxxxMN又C到直线l的距离,2||2|33|mmdCMN的面积)16(43||2122mmdMNS,32)216(4322mm当且仅当2216mm时取等号，此时22m满足题中条件，∴直线l的方程为.022yx4解：（1）由2212516xy得2216(1)25xy，则222216(1),[5,5]25xxyxx则221625xy所以22xy的最大值为25，最小值为16。（2）如图，由5Ax及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设(5cos,4sin)B为椭圆上任一点，又AC方程为154xy，即45200xy。所以B到AC的距离为1202sin()2020cos20sin20202204414141d同理得D到直线AC的距离22022041d所以四边形ABCD最大面积12max1()2022SACdd。5解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故.11)1(ykxxky可化为将xayxykx消去代入,311222，得.012)31(222aykyk①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得3)31(,0)1)(31(4422222akakk整理得，即.313222kka（II）解：设).,(),,(2211yxByxA由①，得221312kkyy因为212,2yyCBAC得，代入上式，得.31222kky于是，△OAB的面积||23||||21221yyyOCS.23||32||331||32kkkk其中，上式取等号的条件是.33,132kk即由.33,312222ykky可得将33,3333,3322ykyk及这两组值分别代入①，均可解出.52a所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是.5322yx6.(1)∵l是线段MM的中垂线，∴PMPM,∴|PM|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=2m0m.即点P在以O、M为焦点，以263m为焦距，以2m为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为222213yxmm，即2223xym.（2）由(1)ykx(0)k得11.xyk将11xyk代入2223xym消去x，得22236(1)30.yyakk①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得2223634(1)(3)0,mkk整理得223(1)3mk，即2223.3kmk设).,(),,(2211yxByxA由①，得12263kyyk.∵2,ADDB而点(1,0)D,∴1122(1,)2(1,)xyxy，所以122yy，代入上式，得226.3kyk于是，△OAB的面积12213||||||22SODyyy29||9||33.3223||kkkk其中，上式取等号的条件是23,k即3.k由226.3kyk可得23y.将23,3ky及23,3ky这两组值分别代入①，均可解出215.a∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是22315.xy7解：（Ⅰ）设y＝x－a，∴（x－a）2＝2px图8—19x2－2ax＋a2－2px＝0x2－（2a＋2p）x＋a2＝0|AB|＝224)(42apa≤2p∴4ap＋2p2≤p2，4ap≤－p2又∵p＞0，∴a≤－4p（如图8—19）（Ⅱ）∵AB中点x＝a＋py1＋y2＝x1＋x2－2ay1＋y2＝2p∴y＝p∴过N的直线l：y－p＝－（x－a－p）＋p＝x－a－px＝a＋2pN到AB的距离为：222|2|papa∴S＝2222222222pappppap当a有最大值时，S有最大值2222222222222ppppppS8分析及解：设A(x,y),如图所示,则ABCDS(4-x)(4-y)(1)此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy(2)这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.因此,只需设t=x+y,则xy=292t,代入(2)式得S=16-4t+27)4(212922tt(3)S表示为变量t的二次函数,∵0x3,0y3,∴3t23,∴当t=4时,SABCD的最小值为27.此时,27,4xyyx)222,222()222,222(或的坐标为得A注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.9解：（1）易得A的坐标)0,2(,B的坐标)0,2(，M的坐标)24,(2tt，N的坐标)24,(2tt，线段AM的中点P)44,22(2tt，直线AM的斜率ttttk222122421………………………………………3分又AMPC1,直线1PC的斜率ttk2222直线1PC的方程44)22(2222ttxtty，1C的坐标为)0,863(t同理2C的坐标为)0,863(t…………………………