高三数学平面向量学科素质训练

2006－2007学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学第一轮复习单元测试（4）—《平面向量》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD（）A．BABC21B．BABC21C．BABC21D．BABC212．与向量a=b,21,2727,21的夹解相等，且模为1的向量是（）A．53,54B．53,54或53,54C．31,322D．31,322或31,3223．设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ba共线，则=（）A．0B．－1C．－2D．0.54．已知向量1,3a，b是不平行于x轴的单位向量，且3ba，则b=（）A．21,23B．23,21C．433,41D．（1，0）5．如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是（）A．3121PPPPB．4121PPPPC．5121PPPPD．6121PPPP6．在OAB中，OAa，OBb，OD是AB边上的高，若ADAB，则实数等于（）A．2()abaabB．2()aababC．()abaabD．()aabab7．设1(1,)2OM，(0,1)ON，则满足条件01OPOM，01OPON的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A．B．C．D．8．将函数f(x)=tan(2x+3)+1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a=（）A．（,16）B．（,16）C．（,112）D．（,112）9．已知向量a、b、c且0abc，||3a，||4b，||5c.设a与b的夹角为1，b与c的夹角为2，a与c的夹角为3，则它们的大小关系是（）A．123B．132C．231D．32110．已知向量),(nma，)sin,(cosb，其中Rnm,,.若||4||ba，则当2ba恒成立时实数的取值范围是（）A．2或2B．2或2C．22D．2211．已知1OA，3OB，0OAOB，点C在AOB内，且30oAOC，设OCmOAnOB(,)mnR，则mn等于（）2xxxxyyyy000011111222111A．13B．3C．33D．312．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)Axy，22(,)Bxy，定义它们之间的一种“距离”：2121.ABxxyy给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则;ACCBAB②在ABC中，若90,oC则222;ACCBAB③在ABC中，.ACCBAB其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在ABCD中，,,3ABaADbANNC，M为BC的中点，则MN_______.（用ab、表示）14．已知2,1,1,1,ABO为坐标原点，动点M满足OMmOAnOB，其中,mnR且2222mn，则M的轨迹方程为.15．在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则)(OCOBOA的最小值为.16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(mmOCOBOA，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量)sin1,sin1(xxa，)2cos,2(xb.（1）若]2,0(x，试判断a与b能否平行？（2）若]3,0(x，求函数baxf)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数cbaxf，其中向量xxbxxacos3,sin,cos,sin，Rxxxc,sin,cos.（1）求函数xf的最大值和最小正周期；（2）将函数xfy的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC△中，2ABACABAC．（1）求22ABAC的值；（2）当ABC△的面积最大时，求A的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A(2,1)，B(0,－1)，C(－2,1);三动点D，E，M满足]1,0[,,,tDEtDMBCtBEABtAD（1）求动直线DE斜率的变化范围;（2）求动点M的轨迹方程.yxOMDABC－1－1－212BE22．（本小题满分14分）已知点P是圆221xy上的一个动点，过点P作PQx轴于点Q，设OMOPOQ.（1）求点M的轨迹方程；（2）求向量OP和OM夹角的最大值，并求此时P点的坐标PQOyx参考答案（4）1．BABCBDCBCD21，故选A．2．B设所求向量e=（cos,sin）,则由于该向量与,ab的夹角都相等,故ebeaebebeaea||||||||7117cossincossin22223cos=-4sin,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B选项成立,故选B．3．D依题意知向量ab与ba2共线，设abk（ba2），则有0)()21(bkak，所以0021kk，解得5.0k，选D．4．解选B．设,()bxyxy，则依题意有221,33.xyxy1,23.2xy5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)iPPPPi=的几何意义:数量积121iPPPP等于12PP的长度12PP与1iPP在12PP的方向上的投影1121cos,iiPPPPPP的乘积.显然由图可知13PP在12PP方向上的投影最大.所以应选(A).6．B,,ADABODOAOBOA即得11,ODOAOBab又OD是AB边上的高，0ODAB即0,10ODOBOAabba，整理可得2(),baaab即得2aabab，故选B．7．A设P点坐标为),(yx，则),(yxOP.由01OPOM，01OPON得10220yyx，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A．8．A要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Zkk个单位.即应按照向量))(1,62(Zkka进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16），故选A．9．B由0abc得)(bac，两边平方得1222cos||||2||||||babac，将||3a，||4b，||5c代入得0cos1，所以0190；同理，由0abc得)(bca，可得54cos2，53cos3，所以132.10．B由已知得1||b，所以4||22nma，因此)sin(sincos22nmnmba4)sin(4，由于2ba恒成立，所以42，解得2或2.11．答案B∵1OA，3OB，0OAOB∴△ABC为直角三角形，其中1142ACAB∴1131()4444OCOAACOAABOAOBOAOAOB∴31,44mn即3mn故本题的答案为B．12．答案B取特殊值、数形结合在ABC中，90oC，不妨取A（0，1），C（0，0），B（0，1），则∵2121ABxxyy∴1AC、1BC、|10||01|2AB此时222ACCB、24AB、222ACCBAB；ACCBABAOBC即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，则1313||||||||||||ACxxyyACCC＝＝||||||||ABBCCCCC＝||||||||ABBBBCCC1212||||||||||||ABxxyyABBB2323||||||||||||BCxxyyBCCC∴ACCBAB即命题①是正确的.综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B．13．解：343A=3()ANNCANCab由得，12AMab，所以3111()()4244MNababab.14．2222yx设),(yxM，则),(yxOM，又)1,1(),1,2(OBOA，所以由OMmOAnOB得),(),2(),(nnmmyx，于是nmynmx2，由2222mn消去m,n得M的轨迹方程为：2222yx.15．2如图，设xAO，则xOM2，所以)(OCOBOAOMOAOMOA222)1(242)2(222xxxxx，故当1x时，OMmOAnOB取最小值-2.16．21m因为)3,5(),3,6(),4,3(mmOCOBOA，所以),1(),1,3(mmBCAB.由于点A、B、C能构成三角形，所以AB与BC不共ACCBBCOMCBA线，而当AB与BC共线时，有mm113，解得21m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是21m.17．解析：（1）若a与b平行，则有2sin12cossin1xxx，因为]2,0(x，0sinx，所以得22cosx，这与1|2cos|x相矛盾，故a与b不能平行.（2）由于baxf)(xxxxxxxxxsin1sin2sinsin21sin2cos2sin2cossin22，又因为]3,0(x，所以]23,0(sinx，于是22sin1sin22sin1sin2xxxx，当xxsin1sin2，即22sinx时取等号.故函数)(xf的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+43).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22＝.（Ⅱ）由sin(2x+43)＝0得2x+43＝k.，即x＝832k,k∈Z，于是d＝（832k，－2），,4)832(2kdk∈Z.因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―8，―2）即为所求.19．解析：解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，由此得tanθ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以θ＝－π4；（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得｜a＋b｜＝(sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2＝3＋2(sinθ＋cosθ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π4时，|a＋b|最大值为2＋1．2