高三数学模拟试卷

江苏省高邮市第二中学高三数学模拟试卷2007-4-20一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知,ab为实数，集合,1bMa，,0Na，:fxx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab等于（）A.1B.0C.1D.12、设函数)(|,3sin|3sin)(xfxxxf则为（）A．周期函数，最小正周期为3B．周期函数，最小正周期为32C．周期函数，数小正周期为2D．非周期函数3、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．12125B．9125C．6125D．31254、函数f(x)在定义域R内可导，若)2()(xfxf，且当)1,(x时，0)()1(xfx，设)3(),21(),0(fcfbfa，则（）A．abcB．cabC．cbaD．bca5、设1fx是函数112xxfxaaa的反函数，则使11fx成立的x的取值范围为()A、21(,)2aaB、21(,)2aaC、21(,)2aaaD、(,)a6、已知双曲线22ax－22by＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为22a（O为原点），则两条渐近线的夹角为（）A．30ºB．45ºC．60ºD．90º7、函数sin()yAx(＞0,||＜2，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．4sin()84yxB．4sin()84yx6xyO4-4-2C．4sin()84yxD．4sin()84yx8、已知抛物线的方程为y2=2px(p0),且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2,若点M在此抛物线上运动,点N与点M关于点A(1,1)对称,则点N的轨迹方程为()A.x2=8yB.(x-2)2=8(y-2)C.(y-2)2=-8(x-2)D.(y-2)2=8(x-2)9．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致是()ABCD10、设函数()yfx的定义如下表,数列{}nx满足05x,对任意自然数n均有1()nnxfx,则2007x的值为()x12345y41352（A）1（B）2（C）4（D）5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11、已知数列na，nna)(231，把数列na的各项排成三角形状，如图所示．记)n,m(A表示第m行，第n列的项，则)8,10(A=12、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则2212yy的最小值是.13、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．14、在算式：“4×□+1×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使他们的倒数之和最小，则这两个数应分别为。15、一个质点从数轴上原点出发，每次沿数轴向正方向或负方向跳动1个单位，经过10次跳动，质点与原点距离为4，则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）.16、6个不同大小的数如图形式随机排列，▲-------------第1行设第一行的数为1M，第二、三行中的最大▲▲---------第2行数分别为32,MM，则满足321MMM的▲▲▲--------第3行概率是三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（本小题共12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA。（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；（Ⅱ）若3a，求bc的最大值。18、（本小题共14分）定义在0,上的函数()fx，0,1x时，()afxxx(0)a，且0x时，(1)()fxfx．（1）证明()fx是周期函数；（2）求15,16x时的函数解析式；（3）当0,1x时，()fx最小值为1，求a的值．19、（本小题共14分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.20、（本小题满分14分）过抛物线yx42上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，.0PBPA（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得0)(2FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。21、（本小题满分16分）设xf=cxbxax12(a0)为奇函数，且xfmin=22，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，2)(1nnnaafa，11nnnaab．(1)求f(x)的解析表达式；(2)证明：当n∈N+时，有bnn)31(．DPBACE参考答案1、C；2、B3、C；4、B；5、A；6、D；7、B；8、C；9、C；10、C11、53)31(2；12、32；13、3；14、5，10；15、240；16、31.17、解:(Ⅰ)ACB2cos2sin2=)1cos2()]cos(1[212ACB=)1cos2()cos1(212AA=)192()311(21=91(Ⅱ)∵31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc,又∵3a∴.49bc当且仅当b=c=23时,bc=49,故bc的最大值是49.18、（1）0x时，(1)()fxfx，(2)((1)1)(1)()fxfxfxfx，()fx为周期函数且周期2T；（2）当1,2x时，则10,1x，0,1x时，()afxxx，()(1)11afxfxxx，15,16x时，141,2x，()(14)1515afxfxxx；（3）0,1x时，()afxxx，22aaxxaxx，xa时取“＝”，（ⅰ）如果0,1a，即01a时，min()21fxa，即14a，（ⅱ）如果1a即1a时，可以证明()afxxx在0,1上是减函数，min()(1)11fxfa，此时0a（舍去）14a19、解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30(Ⅲ)当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①由,21EDPEEM知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.20、解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211xxxxBxxA由,42yx得：2'xy,2,221xkxkPBPA4,,021xxPBPAPBPA----------------------------------------4分直线PA的方程是：)(241121xxxxy即42211xxxy①同理，直线PB的方程是：42222xxxy②-------------------6分由①②得：),(,142212121Rxxxxyxxx∴点P的轨迹方程是).(1Rxy---------------------------------------------------8分（2）由（1）得：),14,(211xxFA),14,(222xxFB)1,2(21xxP4),2,2(2121xxxxFP,42)14)(14(2221222121xxxxxxFBFA2444)()(22212212xxxxFP,所以0)(2FPFBFA故存在=1使得0)(2FPFBFA--------------------------------------------------14分解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且,0PBPA∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且,PBPA设PA的直线方程是)0,,(kRmkmkxy由yxmkxy42得：0442mkxx----------------------------------------------4分016162mk即2km即直线PA的方程是：2kkxy同理可得直线PB的方程是：211kxky-------------------------------------6分由2211kxkykkxy得：11yRkkx故点P的轨迹方程是).(1Rxy-------------------------------------------------8分（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22kkPkkBkkA)11,2(),1,2(22kkFBkkFA,)2,1(kkFP)1(2)11)(1(42222kkkkFBFA)1(24)1()(2222kkkkFP故存在=1使得0)(2FPFBFA--------------------------------------------14分21、解：由f(x)是奇函数，得b=c=0，由|f(x)min|=22，得a=2，故f(x)=xx122(2)2)(1nnnaafa=nnnnnaaaaa2121222，1212121121112222111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaab=211nnaa=2nb∴nb=21nb=42nb=…=121nb，而b1=31∴nb=12)31(n当n=1时，b1=31，命题成立，当n≥2时∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋112111nnnnCCC≥1+11nC=n∴12)31(n＜n)31(，即bn≤n)31(．