相似三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（2）相似三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例❶如图1-1，抛物线213482yxx与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．图1-1【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边．△ABC是确定的．由213482yxx，可得A(4,0)、B(8,0)、C(0,4)．于是得到BA＝4，BC＝45．还可得到12CECOEFOB．△BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了．在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以5CFt．因此4555(4)BFtt．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：①当BABPBCBF时，42455(4)tt．解得43t（如图1-2）．②当BABFBCBP时，45(4)245tt．解得207t（如图1-3）．图1-2图1-3例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图2-1【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相等的角．（1）如图2-2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A(1,3)．再由A(1,3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为232333yxx．（2）由2232333(1)3333yxxx，得顶点M3(1,)3．所以3tan3BOM．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．图2-2（3）由A(1,3)、B(2,0)，可得∠ABO＝30°．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)（如图2-3）．②当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)（如图2-4）．图2-3图2-4例❸如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3．（2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2,1)．如图3-2，由B(3,0)、D(0,－3)、C(2,1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°．所以∠CBD＝90°，且21332BCBD．图3-2图3-3图3-4设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程：①当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx．解得103x．此时M107(,)39（如图3-3）．②当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）．当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程：①当3NABDNMBC时，13(1)(3)xxx．解得83x＞1，不符合题意（如图3-4）．②当13NABCNMBD时，11(1)(3)3xxx．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）．图3-5图3-6例❹如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．图4-1【解析】首先求得点C(3,0)．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于是直线CF(CP)为443yx．②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可以求得F(0,4)，因此直线CF(CP)为443yx．③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．图4-2图4-3图4-4例❺如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0,2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；图5-1【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1,4)，D(－4,4)，B(－2,－2)．所以17AO，22BO，35AB，42DO．△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．由EOODDEAOOBBA，得42172235EODE．所以217EO，65DE．设点E的坐标为(x,y)，根据EO2＝68，DE2＝180，列方程组222268,(4)(4)180.xyxy解得118,2,xy222,8,xy所以点E的坐标为(8,－2)或(－2,8)．上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．按照这个运动规则，点A(1,4)绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．图5-2图5-3例❻如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．图6-1【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整．如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程BABDBPBF或BABFBPBD，其中BA＝42，BP＝t，BD＝42＋2，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！图6-2图6-3图6-4我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP＝2∠D．第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA，因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．马学斌[e-mail]2015年9月20日星期日To：《中小学数学·初中版》北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，100048