2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之

-1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.了解空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义.2.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.3.会用两条异面直线所成角的定义,找出或作出异面直线所成的角,会在三角形中求简单的异面直线所成的角.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123451.异面直线名师点拨“不同在任何一个平面内”指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123452.空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内,有且只有一个公共点;(2)平行直线——同一平面内,没有公共点;(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.名师点拨空间两条直线的位置关系有且仅有三种.所以判断两条直线异面时,可用排除法,即排除两条直线相交与平行的情况,则两直线一定异面.做一做1平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是.答案:相交或异面JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123453.公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行图形语言符号语言直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123454.等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补图形语言符号语言OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°作用证明两个角相等或互补JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12345知识拓展推论1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.这个推论称为“同向平行,角相等”.推论2:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.做一做2已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=()A.30°B.150°C.30°或150°D.大小无法确定解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°;当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相反时,∠B'A'C'=150°.答案:CJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123455.两条异面直线所成的角(夹角)定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ,则0°θ≤90°两异面直线垂直当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥bJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12345做一做3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为.答案:65°JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12345判一判正确的画“√”,错误的画“×”.(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线.()(2)两直线垂直,则这两条直线一定相交.()(3)两直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行.()答案:(1)×(2)×(3)×ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一空间两条直线位置关系的判定空间两条直线位置关系的判定方法:(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断.(2)判定两条直线是异面直线的方法:①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交).③重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如图,A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系:①A1B与D1C;②A1B与B1C;③D1D与CE(E为C1D1的中点);④AB与B1C.(2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,那么a与c有什么样的位置关系?并画图说明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)①平行②异面③相交④异面(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四􀎥变式训练1􀎥写出本例的正方体中所有与直线AB异面的棱所在的直线.解:正方体中与直线AB异面的棱所在的直线有:CC1,B1C1,DD1,A1D1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二平行公理、等角定理的应用判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分,除了平面几何中常用的判断方法以外,公理4也是判断两直线平行的重要依据.证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1􀎥AA1.又∵AA1􀎥BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练2􀎥在本例中,若N1是D1C1的中点,求证:四边形M1N1CA是梯形.证明:如图,连接A1C1.∵M1,N1分别是A1D1,D1C1的中点,∴M1N1∥A1C1,且M1N1=12A1C1.由正方体的性质可知:A1C1∥AC,且A1C1=AC,∴M1N1∥AC,且M1N1=12AC,∴四边形M1N1CA是梯形.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三求异面直线所成的角求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一,而求它的常用方法是空间问题平面化.(1)具体地,求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°α180°,则180°-α即为所求.(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3如图,在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.思路分析:先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法一:如图(1),连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.图(1)∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法二:如图(2),连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE=12DB1.图(2)于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.连接HF,设AA1=1,则EF=√22,HE=√32,取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,∴HF2=HI2+IF2=54,∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法三:如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.图(3)于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习􀎥变式训练3􀎥本例已知条件不变,求A1D与D1C的夹角.解:如图(4),连接A1B,BD.图(4)∵A1D1􀎥BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴D1C∥A1B,∴∠BA1D就是A1D与D1C的夹角.∵△A1BD是等边三角形,∴∠BA1D=60°,即A1D与D1C的夹角是60°.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四因忽略异面直线所成的角的范围而致错典型例题4已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,A