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第1页共8页2018年江苏省扬州市教育系统教师招聘考试(数学)一.填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.“,31xRx”的否定.2.设复数z满足3izi=−+,则z的实部是.3.在平面直角坐标系xOy中,若点(,1)Pm到直线4310xy−−=的距离为4,且点P在不等式23xy+表示的平面区域内,则m=.4.某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排,现在,,,ABCD四辆车需要停放,若,AB两车停放的位置必须相邻,则停放方式的种数为.(用数字作答)5.设等比数列{}na的前n项和为nS,0na,若6325SS−=,则96SS−的最小值是.6.若函数()sin()(0)6fxwxw=+,图象的两条对称轴之间的距离为2,该函数图象与点0(,0)x成中心对称,0[0,]2x,则0x=.7.在锐角三角形ABC中,,,ABC所对应的边为,,abc,已知22sin3A=,2a=,2ABCS=,则b=.8.已知向量(sin2,cos)a=,(cos,1)b=,则“//ab”是“1tan2=”成立的条件.9.设函数()fx是周期为5的奇函数,当02x时,()23xfx=−,则(2013)f=.10.设正实数,,xyz满足22390xxyyz−+−=,则当xyz取得最大值时,xy的值为.11.已知RTABC的三个顶点都在抛物线22(0)ypxp=上,且斜边//ABy轴,则斜边上的高等于.12.设点P为函数21()22fxxax=+与2()3ln2(0)gxaxba=+图象的公共点,以P为切点可作第2页共8页直线l与两曲线都相切,则实数b的最大值为.二.解答题(本大题共5题,每题8分,共40分).13.如图,在正三棱柱111ABCABC−中,EF、分别为1BB、AC的中点.(1)求证://BF平面1AEC;(2)求证:平面1AEC⊥平面11ACCA.14.已知矩阵21aMc=,若矩阵M属于特征值3的一个特征向量11=.求矩阵的逆矩阵1M−.第3页共8页15.如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆,,,PHHAHBHC构成,其底端三点,,ABC均匀地固定在半径为3m的圆O上(圆O在地面上),,,PHO三点相异且共线,PO与地面垂直.现要求点P到地面的距离恰为33m,记用料总长为LPHHAHBHC=+++,设HAO=.(1)试将L表示为的函数,并注明定义域;(2)当的正弦值是多少时,用料最省?16.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=上任意一点到两焦点距离之和为23,离心率为33,左、右焦点分别为1F,2F,点P是右准线上任意一点,过2F作直线2PF的垂线2FQ交椭圆于Q点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;(3)点P的纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点H,满足MPMHPNHN=,试证明点H恒在一定直线上.OPHABCθ第15题第4页共8页17.设等差数列{}na的前n项和为nS,已知12a=,622S=.(1)求nS;(2)若从{}na中抽取一个公比为q的等比数列{}nka,其中11k=,且12nkkk,*nkN.①当q取最小值时,求{}nk的通项公式;②若关于*()nnN的不等式16nnSk+有解,试求q的值.第5页共8页2018年江苏省扬州市教育系统教师招聘考试数学答案一.填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.00,31xRx2.13.64.485.206.5127.38.必要不充分9.1−10.311.2p12.2334e二.解答题(本大题共5题,每题8分,共40分).13.证:(1)连1AC交1AC于点O,F为AC中点,111//=2OFCCOFCC且,E为1BB中点,111//=2BECCBECC且,//=BEOFBEOF且,四边形BEOF是平行四边形,//BFOE,又BF平面1AEC,OE平面1AEC,//BF平面1AEC.(2)由(1)知//BFOE,ABCB=,F为AC中点,所以BFAC⊥,所以OEAC⊥,又因为1AA⊥底面ABC,而BF底面ABC,所以1AABC⊥,则由//BFOE,得1OEAA⊥,而1,AAAC平面11ACCA,且1AAACA=,所以OE⊥面11ACCA,又OE平面1AEC,所以平面1AEC⊥平面11ACCA.14.解:由题意,得2113111ac=,解得12ac==,所以1221=M.设1xyzw−=M,则112102101xyzw−==MM,解得1221,,,3333xyzw=−===−,即112332133−−=−M.15.解:(1)因PO与地面垂直,且AOBOCO==,则,,AOHBOHCOH是全等的直角三角形,又圆O的半径为3,第6页共8页所以3tanOH=,3cosAHBHCH===,又333tanPH=−,所以9333tancosL=−+,若点,PH重合,则tan3=,即3=,所以(0,)3,从而9333tancosL=−+,(0,)3.(2)由(1)知93sin333tan333coscosL−=−+=+,所以23sin13cosL−=,当0L=时,1sin3=,令01sin3=,0(0,)3,当0(,)3时,0L;当0(0,)时,0L;所以函数L在0(0,)上单调递减,在0(,)3上单调递增,所以当0=,即1sin3=时,L有最小值,此时用料最省.16.解:(1)由题意可得22222333aceaabc====+,解得3a=,1c=,2b=所以椭圆22:132xyE+=.(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为23axc==,设0(3,)Py,1(Qx,1)y,因为22PFFQ⊥,所以220011111212(1)QFPFyyyykkxx===−−−,所以1012(1)yyx−=−又因为21011012111133PQOQyyyyyykkxxxx−−==−−且22112(1)3xy=−代入化简得23PQOQkk=−.即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值23−.(3)设过(3,3)P的直线l与椭圆交于两个不同点1(Mx,1)y,2(Nx,2)y,点(,)Hxy,则2211236xy+=,2222236xy+=.第7页共8页设MPMHPNHN==,则,MPPNMHNH=−=,1(3x−,123)(3yx−=−−,23)y−,1(xx−,12)(yyxx−=−,2)yy−整理得12123,11xxxxx−+==−+,12123,11yyyyy−+==−+,从而2222221212223,311xxyyxy−−==−−,由于2211236xy+=,2222236xy+=,我们知道21x与21y的系数之比为2:3,22x与22y的系数之比为2:3.222222222221212112222223323(23)69611xxyyxyxyxy−+−+−++===−−,所以点H恒在直线2320xy+−=上.17.解:(1)设等差数列的公差为d,则611665222Sad=+=,解得23d=,…2分所以(5)3nnnS+=.(2)因为数列}{na是正项递增等差数列,所以数列}{nka的公比1q,若22=k,则由382=a,得3412==aaq,此时932)34(223==ka,由)2(32932+=n,解得*310Nn=,所以22k,同理32k;若42=k,则由44=a,得2=q,此时122−=nkna,另一方面,2(2)3nknak=+,所以2(2)23nnk+=,即1322nnk−=−,所以对任何正整数n,nka是数列}{na的第2231−−n项.所以最小的公比2=q.所以2231−=−nnk.(3)因为12423nnnkkaq−+==,得132nnkq−=−,而1q,所以当1q且qN时,所有的132nnkq−=−均为正整数,适合题意;当2q且qN时,132nnkqN−=−不全是正整数,不合题意.而16nnSk+有解,所以2(5)213nnnq++有解,经检验,当2q=,3q=,4q=时,1n=都是2(5)213nnnq++的解,适合题意第8页共8页下证当5q时,2(5)213nnnq++无解,设2(5)23nnnnbq++=,则212[(1)(75)7]3nnnqnqnqbbq+−+−+−−=,因为57022qq−−,所以2()2[(1)(75)7]fnqnqnq=−+−+−在*nN上递减,又因为(1)0f,所以()0fn恒成立,所以10nnbb+−,所以1nbb恒成立,又因为当5q时,11b,所以当5q时,16nnSk+无解.综上所述,q的取值为2,3,4.
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