1两平面的平行判定和性质(含解析)例1:已知正方体1111-DCBAABCD.求证:平面//11DAB平面BDC1.证明:∵1111-DCBAABCD为正方体,∴BCAD11//,又BC1平面BDC1,故//1AD平面BDC1.同理//11BD平面BDC1.又1111DBDAD,∴平面//11DAB平面BDC1.说明:上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明,只需连接CA1即可,此法还可以求出这两个平行平面的距离.典型例题二例2:如图,已知//,aA,A//a.典型例题一例1已知)3,0(A,)0,1(B,)0,3(C,求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形.分析:利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题.解:如图,设),(yxD,若CDAB//,则CDABkk,BCAD,2即②①.1613)3(,301003222yxxy由①、②解得)53,516(D.若BCAD//,则,,BCADkkBCAD即④③.31)3(,0032222yxxy由③、④式解得)3,2(D.故D点的坐标为)53,516(或)3,2(.说明:(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准,解此题时注意不要漏解.(2)在遇到两直线平行问题时,一定要注意直线斜率不存在的情况.此题中AB、BC的斜率都存在,故不可能出现斜率不存在的情况.典型例题二例2当a为何值时,直线01)1()2(1yaxal:与直线02)32()1(2yaxal:互相垂直?分析:分类讨论,利用两直线垂直的充要条件进行求解.或利用结论“设直线1l和2l的方程分别是01111CyBxAl:,02222CyBxAl:,则21ll的充要条件是02121BBAA”(其证明可借助向量知识完成)解题.解法一:由题意,直线21ll.(1)若01a,即1a,此时直线0131xl:,0252yl:显然垂直;(2)若032a,即23a时,直线0251yxl:与直线0452xl:不垂直;(3)若01a,且032a,则直线1l、2l斜率1k、2k存在,aak121,3212aak.当21ll时,121kk,即1)321()12(aaaa,∴1a.综上可知,当1a或1a时,直线21ll.3解法二:由于直线21ll,所以0)32)(1()1)(2(aaaa,解得1a.故当1a或1a时,直线21ll.说明:对于本题,容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误,如先认可两直线1l、2l的斜率分别为1k、2k,则aak121,3212aak.由21ll,得121kk,即1)321()12(aaaa.解上述方程为1a.从而得到当1a时,直线1l与2l互相垂直.上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直(斜率形式)的充要条件,忽视了斜率存在的大前提,因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑,出现了以偏概全的错误.典型例题三例3已知直线l经过点)1,3(P,且被两平行直线011yxl:和062yxl:截得的线段之长为5,求直线l的方程.分析:(1)如图,利用点斜式方程,分别与1l、2l联立,求得两交点A、B的坐标(用k表示),再利用5AB可求出k的值,从而求得l的方程.(2)利用1l、2l之间的距离及l与1l夹角的关系求解.(3)设直线l与1l、2l分别相交于),(11yxA、),(22yxB,则可通过求出21yy、21xx的值,确定直线l的斜率(或倾斜角),从而求得直线l的方程.解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为3x,此时与1l、2l的交点分别为)4,3('A和)9,3('B,截得的线段AB的长594AB,符合题意,若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为1)3(xky.解方程组,01,1)3(yxxky得114,123kkkkA,4解方程组,06,1)3(yxxky得119,173kkkkB.由5AB,得2225119114173123kkkkkkkk.解之,得0k,即欲求的直线方程为1y.综上可知,所求l的方程为3x或1y.解法二:由题意,直线1l、2l之间的距离为125261d,且直线l被平等直线1l、2l所截得的线段AB的长为5(如上图),设直线l与直线1l的夹角为,则225225sin,故∴45.由直线011yxl:的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°,又由直线l过点)1,3(P,故直线l的方程为3x或1y.解法三:设直线l与1l、2l分别相交),(11yxA、),(22yxB,则:0111yx,0622yx.两式相减,得5)()(2121yyxx.①又25)()(221221yyxx②联立①、②,可得052121yyxx或502121yyxx由上可知,直线l的倾斜角分别为0°或90°.故所求直线方程为3x或1y.说明:本题容易产生的误解是默认直线l的斜率存在,这样由解法一就只能得到0k,从而遗漏了斜率不存在的情形.一般地,求过一定点,且被两已知平行直线截得的线段为定长a的直线,当a小于两平行直线之间距离d时无解;当da时有唯一解;当da时,有且只有两解.另外,本题的三种解法中,解法二采取先求出夹角后,再求直线l的斜率或倾斜角,从方法上看较为简单;而解法三注意了利用整体思想处理问题,在一定程度上也简化了运算过程.典型例题四例4已知点31,A,13,B,点C在坐标轴上,且90ACB,则满足条件的点C的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)45解:点C在坐标轴上,可有两种情况,即在x轴或y轴上,点C的坐标可设为0,x或0,y.由题意,90ACB,直线AC与直线BC垂直,其斜率乘积为-1,可分别求得0x或2,0y或4,所以满足条件的点的坐标为(0,0),(2,0),(0,4).说明:①本题还可以有另外两种解法:一种是利用勾股定理,另一种是直角三角形斜边AB与y轴交点D恰为斜边AB中点,则由D到A、B距离相等的性质可解.②本题易错,可能只解一个坐标轴;可能解方程时漏解;也可能看到x、y各有两解而误以为有四点.典型例题五例5已知ABC的一个定点是13,A,B、C的平分线分别是0x,xy,求直线BC的方程.分析:利用角平分线的轴对称性质,求出A关于0x,xy的对称点,它们显然在直线BC上.解:13,A关于0x,xy的对称点分别是13,和31,,且这两点都在直线BC上,由两点式求得直线BC方程为052yx.典型例题六例6求经过两条直线0132yx和043yx的交点,并且垂直于直线0743yx的直线的方程.解一:解得两直线0132yx和043yx的交点为(35,97),由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为34,进而所求直线方程为0934yx.解二:设所求直线方程为034myx,将所求交点坐标(35,97)代入方程得9m,所以所求直线方程为0934yx.解三:所求直线过点(35,97),且与直线0743yx垂直,所以,所求直线方程为0973354yx6即0934yx.解四:设所求直线得方程为043132yxmyx即041132mymxm(1)由于该直线与已知直线0743yx垂直则013423mm解得2m代入(1)得所求直线方程为0934yx.典型例题七例7已知定点A(3,1),在直线xy和0y上分别求点M和点N,使AMN的周长最短,并求出最短周长.分析:由连接两点的线中,直线段最短,利用对称,把折线转化为直线,即转化为求两点间的距离.解:如图1,设点A关于直线xy和0y的对称点分别为31,B,13,C∵MNCNBMMNANAM又BCMNCNBM周长最小值是:52BC由两点式可得BC方程为:052yx.而且易求得:M(35,35),N(25,0),此时,周长最短,周长为52.典型例题八例8已知实数a,b满足1ba,求证:2252222ba.解:本题的几何意义是:直线1ba上的点(a,b)与定点22,的距离的平CAxCNOyBM图17方不小于225.因为直线外一点与直线上任一点连线中,垂线段距离最短,而垂线段的长度即距离251112222d,所以25)2()2(22ba,即2252222ba.说明:本题应为不等式的题目,难度较大,证明方法也较多,但用解析几何的方法解决显得轻松简捷,深刻地体现了数形结合的思想.典型例题九例9在平面直角坐标系中,xOA,2,点B在OA上aOA,bOB,0ba,试在x轴的正半周上求一点C,使ACB取得最大值.分析:要使最大,只需最大,而是直线到直线的角(此处即为夹角),利用公式可以解决问题.解:如图2,设点00xxC,∵xOA,aOA,bOB,∴sincosaaA,,sincosbbB,,于是直线CA、CB的斜率分别为:xaaxCAkCAcoscostan,xaaxCBkCBcoscostan∴CACBCACBkkkkACB1tan=)cos)(cos(sin1cossincossin2xaxbabxaaxbb=2sin)cos)(cos()cos(sin)cos(sinabxaxbxbaxab=2cos)(sin)(xxbaabxbaxCOBAy图28=cos)(sin)(baxxabba∵abxxab2∴cos2sintanbaabbaACB当且仅当xxab即abx,C点的坐标为(ab,0),由2可知ACB为锐角,所以此时ACB有最大值arctancos)(2sin)(baabba.说明:本题综合性强,是三角、不等式和解析几何知识的交汇点.另外本题也是足球射门最大角问题的推广.为了更好地理解问题,可以演示用“几何画板”制作的课件.典型例题十例10直线0421yxl:,求1l关于直线0143yxl:对称的直线2l的方程.分析:本题可有多种不同的解法,给出多种解法的途径是:一类利用直线方程的不同形式求解;另一类采用消元思想进行求解.解法一:由0143042yxyx得1l与l的交点为)2,3(P,显见P也在2l上.设2l的斜率为k,又1l的斜率为-2,l的斜率为43,则kk)43(1)43()2)(43(1)2(43,解得112k.故2l的直线方程为)3(1122xy.即016112yx.解法二:在直线1l上取一点)0,2(A,又设点A关于直线l的对称点为),(00yxB,则.01204223,34200000yxxy解得)58,54(B故由两点式可求得直线2l的方程为016112yx.解法三:设直线2l上一动点),(yxM关于直线l的对称点为),('''yxM,则9.012423,34''''yyxxxxyy解得256247'yxx,