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-1-8.2.3倍角公式-2-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导.2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明.思维脉络-3-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨大雁是人们熟知的鸟类类群之一,在迁徙时总是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起,列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”字形,一旦减速,队伍又由“人”字形变换成“一”字形.当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流,排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流,从而节省了体力.研究表明,大雁排成的“人”字形的每边与前进方向的夹角约为55°,那么“人”字形的夹角就是这个角的两倍,大约为110°.这两个角的三角函数之间有什么关系?-4-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:倍角公式-5-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是α2的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.(2)对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0,且tanα有意义,即α≠kπ+π4(k∈Z),且α≠kπ-π4(k∈Z),且α≠kπ+π2(k∈Z).当α=kπ+π4(k∈Z)及α=kπ-π4(k∈Z)时,tan2α的值不存在;当α=kπ+π2(k∈Z)时,tanα的值不存在,故不能用二倍角公式求tan2α,此时可以利用诱导公式直接求tan2α.(3)一般情况下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.(4)倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin3αcos3α=12sin6α.-6-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习求下列各式的值.(1)4sin15°cos15°=;(2)若cosα=13,则cos2α=;(3)若tanθ=12,则tan4θ=.解析(1)4sin15°cos15°=2×2sin15°cos15°=2sin30°=1.(2)cos2α=2cos2α-1=2×132-1=-79.(3)tan2θ=2tan𝜃1-tan2𝜃=2×121-122=43,tan4θ=tan[2·(2θ)]=2tan(2𝜃)1-tan2(2𝜃)=2×431-432=-247.答案(1)1(2)-79(3)-247-7-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微总结二倍角公式的变换(1)因式分解变换.cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).(2)配方变换.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升幂缩角变换.1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降幂扩角变换.cos2α=12(1+cos2α),sin2α=12(1-cos2α).-8-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测化简、求值问题例1求下列各式的值:(1)23−43sin215°;(2)cosπ5cos2π5;(3)sin50°(1+3tan10°).-9-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)23−43sin215°=23(1-2sin215°)=23cos30°=33.(2)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ5=sinπ54sinπ5=14.(3)原式=sin50°1+3sin10°cos10°=sin50°·cos10°+3sin10°cos10°=sin50°·212cos10°+32sin10°cos10°=sin50°·2(sin30°cos10°+cos30°sin10°)cos10°=sin50°·2sin40°cos10°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°cos10°=1.-10-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟化简、求值问题的求解策略解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.-11-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究根据例1(2)求sinπ10sin3π10cos3π5cos4π5的值.解原式=cos2π5cosπ5cos3π5cos4π5=cosπ5cos2π5-cos2π5-cosπ5=cosπ5cos2π52=116.-12-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用二倍角公式解决条件求值问题例2(1)已知sinα=3cosα,那么tan2α的值为()A.2B.-2C.34D.-34(2)已知sinπ6+α=13,则cos2π3-2α的值等于()A.79B.13C.-79D.-13(3)已知cosα=-34,sinβ=23,α是第三象限角,β∈π2,π.①求sin2α的值;②求cos(2α+β)的值.分析(1)可先求tanα,再求tan2α.(2)可利用23π-2α=2π3-α求值.(3)可先求sin2α,cos2α,cosβ,再利用两角和的余弦公式求cos(2α+β).-13-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)解析因为sinα=3cosα,所以tanα=3,所以tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼=2×31-32=-34.答案D(2)解析因为cosπ3-α=sinπ2-π3-α=sinπ6+α=13,所以cos2π3-2α=2cos2π3-α-1=2×132-1=-79.答案C-14-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)解①因为α是第三象限角,cosα=-34,所以sinα=-1-cos2𝛼=-74,所以sin2α=2sinαcosα=2×-74×-34=378.②因为β∈π2,π,sinβ=23,所以cosβ=-1-sin2𝛽=-53,cos2α=2cos2α-1=2×916-1=18,所以cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ=18×-53-378×23=-5+6724.-15-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sinα(或cosα)cosα(或sinα)sin2α(或cos2α).(2)sinα(或cosα)cos2α=1-2sin2α(或2cos2α-1).(3)sinα(或cosα)-16-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)已知α∈π2,π,sinα=55,求sin2α,cos2α,tan2α.(2)已知sinπ4+αsinπ4-α=16,且α∈π2,π,求tan4α的值.解(1)因为α∈π2,π,sinα=55,所以cosα=-255,所以sin2α=2sinαcosα=2×55×-255=-45,cos2α=1-2sin2α=1-2×552=35,tan2α=sin2𝛼cos2𝛼=-43.-17-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)因为sinπ4-α=sinπ2-(π4+𝛼)=cosπ4+α,则已知条件可化为sinπ4+αcosπ4+α=16,即12sin2(π4+𝛼)=16,所以sinπ2+2α=13,所以cos2α=13.因为α∈π2,π,所以2α∈(π,2π),从而sin2α=-1-cos22𝛼=-223,所以tan2α=sin2𝛼cos2𝛼=-22,故tan4α=2tan2𝛼1-tan22𝛼=-421-(-22)2=427.-18-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用二倍角公式证明例3求证:cos2𝛼1tan𝛼2-tan𝛼2=14sin2α.分析可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.-19-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明(方法一)左边=cos2𝛼cos𝛼2sin𝛼2-sin𝛼2cos𝛼2=cos2𝛼cos2𝛼2-sin2𝛼2sin𝛼2cos𝛼2=cos2𝛼sin𝛼2cos𝛼2cos2𝛼2-sin2𝛼2=cos2𝛼sin𝛼2cos𝛼2cos𝛼=sin𝛼2cos𝛼2cosα=12sinαcosα=14sin2α=右边.∴原式成立.(方法二)左边=cos2𝛼tan𝛼21-tan2𝛼2=12cos2α·2tan𝛼21-tan2𝛼2=12cos2αtanα=12cosαsinα=14sin2α=右边.-20-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.-21-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B.证明左边=1+cos(2𝐴+2𝐵)2−1-cos(2𝐴-2𝐵)2=cos(2𝐴+2𝐵)+cos(2𝐴-2𝐵)2=12(cos2Acos2B-sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2B)=cos2Acos2B=右边,∴等式成立.-22-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测逆用公式巧解题在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.(1)公式逆用.2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=12sin2α;cosα=sin2𝛼2sin𝛼;cos2α-sin2α=cos2α;2tan𝛼1-tan2𝛼=tan2α.-23-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)公式的逆向变换及有关变形.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α;(3)倍角的余弦公式有三种形式:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.在应用时要注意选择合适的形式.cos2α=1+cos2𝛼2;sin2α=1-cos2𝛼2.-24-8.2.3倍角公式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例求值:(1)sin10°sin50°sin70°;(2)sin6°sin42°sin66°sin78°.解(1)原式=cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin2