2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题一集合文解析

集合为高考的必考内容，通常在选择题的第一题或第二题出现，考察难度较低，主要考查集合的运算，集合的基本关系，偶尔也会以新定义的题型出现，此时难度中等偏难．1．数学中常用的数集及其记法：①自然数集：𝐍，②正整数集：𝐍∗或𝐍+，③整数集：𝐙，④有理数集：Q，⑤实数集：𝐑．2．集合间的基本关系（1）𝐴⊆𝐵（𝐴是𝐵的子集）；（2）𝐴=𝐵（𝐴与𝐵相等）⇔𝐴⊆𝐵且𝐵⊆𝐴；（3）𝐴⊂≠𝐵（𝐴是𝐵的真子集）⇔𝐴⊆𝐵且𝐴≠𝐵；（4）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；（5）含有𝑛(𝑛∈𝐍∗)个元素的集合有2𝑛个子集，有(2𝑛−1)个真子集．3．集合的运算性质及重要结论（1）ABABA，ABAAB；（2）UUUABAB痧?，UUUABAB痧?．考点清单命题趋势专题1××集合一、选择题．1．定义集合运算：𝐴∗𝐵={𝑧|𝑧=𝑥𝑦，𝑥∈𝐴，𝑦∈𝐵}．设𝐴={1，2}，𝐵={0，2}，则集合𝐴∗𝐵的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．6【答案】D【解析】根据题意，设𝐴={1，2}，𝐵={0，2}，则集合𝐴∗𝐵中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则𝐴∗𝐵={0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D．【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．2．已知集合𝑀={𝑥|−3𝑥1}，𝑁={−3，−2，−1，0，1}，则𝑀∩𝑁=（）A．{−2，−1，0，1}B．{−3，−2，−1，0}C．{0，−1，−2}D．{−3，−2，−1}【答案】C【解析】因为集合𝑀={𝑥|−3𝑥1}，所以𝑀∩𝑁={0，−1，−2}，故选C．【点评】本小题主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键．3．设全集𝑈={𝑥∈𝐍|𝑥≥2}，集合𝐴={𝑥∈𝐍|𝑥2≥5}，则UAð（）A．B．{2}C．{5}D．{2，5}【答案】B【解析】𝐴={𝑥∈𝐍|𝑥2≥5}={𝑥∈𝐍|𝑥≥√5}，故|252UAxxNð，故选B．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．4．已知集合𝐴={(𝑥，𝑦)|𝑥2+𝑦2≤3，𝑥∈𝐙，𝑦∈𝐙}，则𝐴中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】∵𝑥2+𝑦2≤3，∴𝑥2≤3，经典训练题精题集训（70分钟）∵𝑥∈𝐙，∴𝑥=−1，0，1，当𝑥=−1时，𝑦=−1，0，1；当𝑥=0时，𝑦=−1，0，1；当𝑥=1时，𝑦=−1，0，1，所以共有9个，故选A．【点评】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．5．若集合,,,|04,04,04,,,ΕpqrspsqsrspqrsΝ且，,,,|04,04,,,FtuvwtuvwtuvwN且，用𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑋)表示集合𝛸中的元素个数，则𝑐𝑎𝑟𝑑(𝛦)+𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐹)=（）A．50B．100C．150D．200【答案】D【解析】当𝑠=4时，𝑝，𝑞，𝑟都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4=64种；当𝑠=3时，𝑝，𝑞，𝑟都是取0，1，2中的一个，有3×3×3=27种；当𝑠=2时，𝑝，𝑞，𝑟都是取0，1中的一个，有2×2×2=8种；当𝑠=1时，𝑝，𝑞，𝑟都取0，有1种，所以𝑐𝑎𝑟𝑑(𝛦)=64+27+8+1=100．当𝑡=0时，𝑢取1，2，3，4中的一个，有4种；当𝑡=1时，𝑢取2，3，4中的一个，有3种；当𝑡=2时，𝑢取3，4中的一个，有2种；当𝑡=3时，𝑢取4，有1种，所以𝑡、𝑢的取值有1+2+3+4=10种，同理，𝑣、𝑤的取值也有10种，所以𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐹)=10×10=100，所以𝑐𝑎𝑟𝑑(𝛦)+𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐹)=100+100=200，故选D．【点评】本题考查集合的描述法表示，以及分布计数原理的运用，难度中等．6．已知集合𝐴={−2，−1，0，1，2}，𝐵={𝑦|𝑦=|𝑥|+1，𝑥∈𝐴}，则𝐴∩𝐵=（）A．B．{−1，0，1}C．{1，2}D．{−2，−1，0，1，2，3}【答案】C【解析】因为𝐵={𝑦|𝑦=|𝑥|+1，𝑥∈𝐴}，故当𝑥=±1时，𝑦=2；当𝑥=±2时，𝑦=3；当𝑥=0时，𝑦=1，所以𝐵={1，2，3}，所以𝐴∩𝐵={1，2}，故选C．【点评】本题考察了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．7．已知集合𝐴={𝑥∈𝐙∣𝑥2+𝑥−6≤0}，𝐵={𝑥∣𝑦=ln(𝑥+1)}，则𝐴∩𝐵中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为集合𝐴={𝑥∈𝐙∣𝑥2+𝑥−6≤0}={−3，−2，−1，0，1，2}，{ln(1)}{1}Bxyxxx∣∣，所以𝐴∩𝐵={0，1，2}，故选B．【点评】此题考查了集合的运算，数量掌握交集的定义是解本题的关键．8．设集合𝐴={𝑥|−1≤𝑥≤3}，𝐵={𝑦|𝑦=√−𝑥2+4}，则𝐴∩𝐵=（）A．[−1，2]B．[0，2]C．[−2，2]D．[0，3]【答案】B【解析】0≤−𝑥2+4≤4，∴𝐵={𝑦|𝑦=√−𝑥2+4}=[0，2]，又𝐴=[−1，3]，∴𝐴∩𝐵=[0，2]，故选B．【点评】本题考点为集合的运算，需要注意集合所表示的意思．9．设集合ln6|1xAxyx，集合28115|,448xxByyxx．则ABRð（）A．256,4B．636,10C．276,4D．R【答案】D【解析】由6010xx，得𝑥6，所以6,A，2281817211724424xxxxyxxxx，1548x时，15224x，令𝑡=2𝑥，15,24t，由勾形函数知1utt在1,12上递减，在51,4上递增，𝑡=1时，𝑢=2；12t时，52u；54t时，4120u，所以52,2u，所以2527,44y，即2527,44B，2527,,44BRð，所以ABRRð，故选D．【点评】本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元素的属性进行求解．集合𝐴是求函数的定义域，集合𝐵求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．10．设函数,1,xxPfxxMx，其中𝑃，𝑀是实数集R的两个非空子集，又规定𝐴(𝑃)={𝑦|𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝑃}，𝐴(𝑀)={𝑦|𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝑀}，则下列说法：（1）一定有APAM；（2）若PMR，则APAMR；（3）一定有PM；（4）若PMR，则APAMR．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数𝑓(𝑥)是分段函数，故PM一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当𝑃={−1}，𝑀={1}时，根据已知的规定，有𝐴(𝑃)={1}，𝐴(𝑀)={1}，显然1APAM，因此说法（1）不正确；对于（4）：当𝑃=(−∞，1)，𝑀=[1，+∞)时，显然满足PMR成立，根据已知的规定，有𝐴(𝑃)=(−1，+∞)，𝐴(𝑀)=(0，1]，显然1,0,1APAMR，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当PMR时，APAMR不一定成立，故当PMR时，显然APAMR一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确，故选B．【点评】本题以集合的形式考了分段函数问题题目相对简单，但需要清晰的理解题目意思．11．已知集合𝐴={𝑥|𝑥(𝑥−1)≤0}，𝐵={𝑥|𝑦=ln(𝑥−𝑎)}，若𝐴∩𝐵=𝐴，则实数𝑎的取值范围为（）A．,0B．,0C．1,D．1,【答案】A【解析】∵𝐴={𝑥|𝑥(𝑥−1)≤0}={𝑥|0≤𝑥≤1}，𝐵={𝑥|𝑦=ln(𝑥−𝑎)}={𝑥|𝑥−𝑎0}={𝑥|𝑥𝑎}，由𝐴∩𝐵=𝐴，可得𝐴⊆𝐵，∴𝑎0．因此，实数𝑎的取值范围是,0，故选A．【点评】考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、子集的定义．12．集合𝑀={𝑥|𝑥=3𝑛，𝑛∈𝐍}，集合𝑁={𝑥|𝑥=3𝑛，𝑛∈𝐍}，则集合𝑀与集合𝑁的关系（）A．MNB．NMC．MND．MN且NM【答案】D【解析】考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集子集的定义．因为1∈𝑀，1∉𝑁；6∈𝑁，6∉𝑀，所以MN且NM，故选D．【点评】本题考查了两集合间的基本关系以及集合的表示方法，属于基础题目．二、填空题．13．设集合4,,xAxyyxR，,628,xBxyyxR，则AB_________．【答案】{(1，4)，(2，16)}【解析】由题意可知曲线𝑦=4𝑥上的点构成集合𝐴，曲线𝑦=6×2𝑥−8上的点构成集合𝐵，所以𝐴∩𝐵的元素是两个曲线的交点的坐标，由4628xxyy，可得4𝑥=6×2𝑥−8，则(2𝑥)2−6×2𝑥+8=0，解得2𝑥=2或2𝑥=4，所以14xy或216xy，所以𝐴∩𝐵={(1，4)，(2，16)}，故答案为{(1，4)，(2，16)}．【点评】本题考查了集合的定义及运算问题，属于基础题．14．已知集合𝐴=[𝑡，𝑡+1]∪[𝑡+4，𝑡+9]，0∉𝐴，存在正数𝜆，使得对任意𝑎∈𝐴，都有Aa，则𝑡的值是_________．【答案】1或−3【解析】∵0∉𝐴，则只需考虑下列三种情况：①当𝑡0时，𝑎∈[𝑡，𝑡+1]∪[𝑡+4，𝑡+9]，11111,,941atttt，又0，,,941atttt，Aa，914tttt且419tttt，可得991414tttttttt，∴𝜆=𝑡(𝑡+9)=(𝑡+1)(𝑡+4)，解得𝑡=1；②当𝑡+90，即𝑡−9时，与①构造方程相同，即𝑡=1，不合题意，舍去；③当1040tt，即−4𝑡−1时，可得11tttt，且4994tttt，∴𝜆=𝑡(𝑡+1)=(𝑡+4)(𝑡+9)⇒𝑡=−3，综上所述：𝑡=1或−3．【点评】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过𝑡的不同取值范围，得到𝑎与a所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于𝜆的等量关系，从而构造出关于𝑡的方程；难点在于能够准确地对𝑡的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题．15．设𝑃是一个数集，且至少含有两个数，若对任意𝑎、𝑏∈𝐑，都有𝑎+𝑏、𝑎−𝑏，𝑎𝑏、aPb（除数𝑏≠0），则称𝑃是一个数域．例如有理数集𝐐是