九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理课件（新版）北师大版

3.7切线长定理第三章1课堂讲解切线长定理2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看.知识点切线长定理如图,PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.1归纳过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.1.切线长定义：经过圆外的一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．要点精析：切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量．2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．要点精析：这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，(1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角相等，运用时要根据题意选用．(2)如图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很多结论．如：①PO⊥AB；②AO⊥AP，BO⊥BP；③AP＝BP；④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥等．ACBC如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径.例1OABCDEF解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF,设OD=r.在△ABC中，AC=10,BC=24，∴AB==26.∵⊙O分别与AB，BC,AC相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC,OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF.22221024ACBCOABCDEF又∵∠C=90°,∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,AF=10-r.∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.而AB=26,∴34-2r=26.∴r=4,即⊙O的半径为4.如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8cm，求圆O的直径．例2导引：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC，求∠BAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，再根据勾股定理求出OB即可．12解：如图，连接OE，OA，OB.∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm，由勾股定理得OB＝(cm)，即⊙O的半径是cm，∴⊙O的直径是cm.1212222216883OAAB83163如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则△PDE的周长为________，∠DOE的度数为________．例3AB360°6APBDCE导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，∴∠DOE＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB.由∠APB＝60°得∠APO＝30°.又∵AO＝，由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴PO＝，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.∴PA＝＝3，∠DOE＝∠AOB＝60°.121212123231222POAO总结利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了很好的辅助作用．〈天津〉已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．例4CBAOMOCBDEAM①②导引：(1)要求∠AMB的大小，由切线长定理知△MAB为等腰三角形，只需求出∠MAB，即可得解．(2)要求∠AMB的大小，因为题中无已知角的度数，因此需要证明∠AMB为特殊直角三角形中的角，所以先作出直角三角形，再寻求求角的条件．解：(1)如图①，连接OB，∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，∴MA＝MB，∠OBM＝∠OAM＝90°，又∵∠OAB＝25°，∴∠MAB＝90°－∠OAB＝90°－25°＝65°.∴∠AMB＝180°－2∠MAB＝180°－2×65°＝50°.解：(2)如图②，过点B作BH⊥AM于点H，∵直径AC⊥BD，MA是⊙O的切线，∴BE＝BD，四边形BHAE是矩形，∴HA＝BE＝BD.又∵BD＝MA，MA＝MB，∴MH＝MB.在Rt△MBH中，∵MH＝MB，∴∠MBH＝30°，∴∠AMB＝60°.12121212总结本题用到转化思想，综合运用垂径定理、切线的性质、切线长定理，通过作垂线构造矩形和直角三角形，求出角的度数．切线长定理在本题中起到了一个线段等量转移的作用．1下列说法正确的是()A．过任意一点总可以作圆的两条切线B．圆的切线长就是圆的切线的长度C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径2如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列结论不正确的是()A．PA＝PBB．∠APO＝20°C．∠OBP＝70°D．∠AOP＝70°3(2015·南充)如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是()A．60°B．65°C．70°D．75°切线长定理中的基本图形如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：(1)两个等腰三角形(△PAB，△OAB)．(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)．(3)三个垂直关系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．