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-1-2.4.2抛物线的几何性质目标导航1.掌握抛物线的几何性质.2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.知识梳理1.抛物线y2=2px(p0)的几何性质(1)范围.因为p0,所以这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右.(2)对称性.关于x轴对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点为坐标原点.(4)离心率.抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,由抛物线的定义知e=1.知识梳理【做一做1】已知抛物线的方程为y2=16x,则抛物线的准线方程为()A.x=-2B.x=4C.x=8D.x=-4解析:∵2p=16,故抛物线的准线方程为x=-4.故选D.答案:D∴−𝑝2=−4.知识梳理【做一做2】已知抛物线y2=4x上一点A的横坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为()A.2B.3C.4D.5解析:因为抛物线准线为x=-1,且点A的横坐标为4,所以点A到准线的距离为5.又因为点A到准线的距离与到焦点的距离相等,所以点A到焦点的距离为5.答案:D知识梳理2.在直角坐标平面上,顶点在原点、对称轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有四种形式,它们都叫做抛物线的标准方程.知识梳理3.四种标准形式的抛物线几何性质的比较标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈R对称轴x轴顶点原点O(0,0)焦点坐标𝑝2,0-𝑝2,0准线方程x=−𝑝2x=𝑝2离心率e=1知识梳理标准方程x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围y≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴y轴顶点原点O(0,0)焦点坐标0,𝑝20,-𝑝2准线方程y=−𝑝2y=𝑝2离心率e=1重难聚焦四种形式的抛物线标准方程的对比剖析:(1)共同点:①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③焦点的非零坐标都是一次项系数的14.(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.典例透析题型一题型二题型三抛物线中的最值问题【例1】若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标为.解析:由抛物线定义,知|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP'|,如图所示.因此,当且仅当点P,A,P'在同一条直线上时,有|PF|+|PA|=|PP'|+|PA|最小,此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标,即y=2,故此时点P的坐标为(2,2).答案:(2,2)典例透析题型一题型二题型三反思求抛物线中的最值时,应从分析图形的性质入手,将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合,从而使问题简单化.典例透析题型一题型二题型三求抛物线的标准方程【例2】分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为52.解:(1)由题意,方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),将点A(2,3)的坐标代入,得32=m×2或22=n×3,解得m=92或n=43.故所求的抛物线方程为y2=92𝑥或x2=43𝑦.(2)由焦点到准线的距离为52,可知p=52.故所求抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.反思1.抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.2.抛物线的标准方程中只有一个参数.典例透析题型一题型二题型三抛物线几何性质的应用【例3】已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:(1)x2=4y;(2)2y2+5x=0.分析:先根据抛物线的标准方程求出参数p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程.解:(1)由抛物线的标准方程,知抛物线的焦点在y轴正半轴上,开口向上,且2p=4.所以p=2.故焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)将2y2+5x=0变形为y2=−52𝑥.所以2p=52,𝑝=54,开口向左.故焦点坐标为-58,0,准线方程为x=58.典例透析题型一题型二题型三反思由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程,首先判断抛物线的开口方向,求出参数p,然后再求解.典例透析123451.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为()A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y解析:∵𝑝2=7,∴𝑝=14.又焦点在x轴上,故抛物线的标准方程为y2=28x.答案:B典例透析123452.抛物线y=-x2的焦点坐标为()A.0,14B.0,-14C.14,0D.-14,0解析:因为y=-x2可化为标准方程x2=-y,所以p=12.故所求焦点坐标为0,-14.故选B.答案:B典例透析123453.已知抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P的坐标为()A.32,±62B.74,±72C.94,±32D.52,±102解析:抛物线y2=x的准线方程为x=−14,焦点为14,0,设P(x1,y1),由抛物线定义知x1+14=2,所以x1=2−14=74.由𝑦12=74,得y1=±72,故点P的坐标为74,±72.答案:B典例透析123454.若抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为.解析:当m0时,准线方程为x=−𝑚4=−2,所以m=8.此时抛物线方程为y2=8x;当m0时,准线方程为x=−𝑚4=4,所以m=-16.此时抛物线方程为y2=-16x.故所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x典例透析123455.已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是3,则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为、、.解析:由已知,得p=3,所以所求抛物线的标准方程为y2=6x.故焦点坐标为32,0,准线方程为x=−32.答案:y2=6x32,0𝑥=−32典例透析