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-1-第2课时补集与集合的综合运算首页课标阐释思维脉络1.在具体情境中,了解补集和全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.理解补集思想在解题中的应用.4.掌握集合交集、并集、补集的综合运算.课前篇自主预习一二知识点一、全集1.思考全集一定包含任何元素吗?提示:不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集.2.填空.在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.课前篇自主预习一二知识点二、补集1.思考(1)已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么?提示:剩余元素构成的集合为{a,c,d,e}.(2)上述问题中所求得的集合应该怎样命名?提示:集合{a,c,d,e}可称为子集A在全集U中的补集.符号表示为:∁UA={a,c,d,e}.课前篇自主预习一二2.填写下表:自然语言如果给定集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作∁UA,读作“A在U中的补集”.符号语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形语言补集的性质A∪∁UA=U,A∩∁UA=⌀;∁U(∁UA)=A课前篇自主预习一二3.做一做(1)若U={x|x0},A={x|x3},则∁UA=.答案:{x|0x≤3}(2)如图所示的阴影部分表示的集合是()A.A∩(∁UB)B.B∩(∁UA)C.∁U(A∩B)D.∁U(A∪B)答案:B课前篇自主预习(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.①对任意集合A,B,U为全集,均有∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).()②对任意集合A,B,U为全集,均有∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).()③A∩(∁RA)=R.()④若A=⌀,则∁R⌀=⌀.()答案:①√②√③×④×课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法集合的补集运算例1已知全集U=R,集合A={x|-3x3},集合B={x|x1}.求:(1)∁UA,∁UB;(2)∁U(A∩B).分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出.解:(1)∵A={x|-3x3},B={x|x1}.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.∴∁UA={x|x≤-3或x≥3},∁UB={x|x≥1}.(2)∵A∩B={x|-3x1},如图阴影部分所示.∴∁U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法反思感悟求集合补集的解题策略1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法变式训练1求解下列各题:(1)设全集U=R,集合A={x|0≤x3},则∁UA=;(2)设全集U={三角形},集合A={直角三角形},则∁UA=.解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得∁UA={x|x0,或x≥3}.(2)∵U={三角形},A={直角三角形},∴∁UA={锐角三角形,或钝角三角形}.答案:(1){x|x0,或x≥3}(2){锐角三角形,或钝角三角形}当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法交集、并集、补集的综合运算例2已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2x3},B={x|-3x≤3},求∁UA,A∩B,∁U(A∩B),(∁UA)∩B.分析:可借助数轴分析求解.解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),由图可知∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},A∩B={x|-2x3},∁U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4},(∁UA)∩B={x|-3x≤-2,或x=3}.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法反思感悟集合运算的解题技巧1.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法变式训练2集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x1},则A∩(∁RB)=()A.{x|x1}B.{x|x≥1}C.{x|1x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案:D当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法补集运算中的含参数问题例3(1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},∁UA={5},则a等于;(2)已知集合A={x|xa},B={x|1x2},且A∪∁RB=R,则实数a的取值范围是.解析:(1)由∁UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足∁UA={5};当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足∁UA={5}.所以a的值为-4或2.(2)∁RB={x|x≤1,或x≥2},由于A∪∁RB=R,如图所示,所以a≥2.答案:(1)-4或2(2)a≥2当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法延伸探究已知集合A={x|2a-2xa},B={x|1x2},且A⫋∁RB,求实数a的取值范围.解:易知∁RB={x|x≤1,或x≥2}≠⌀.∵A⫋∁RB,∴分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论.若A=⌀,此时有2a-2≥a,∴a≥2.若A≠⌀,则有2𝑎-2𝑎,𝑎≤1,或2𝑎-2𝑎,2𝑎-2≥2,∴a≤1.综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤1,或a≥2}.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法补集思想的综合应用典例已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.(1)若(∁RA)∪B≠R,求a的取值范围;(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴∁RA={x|x0,或x2}.设(∁RA)∪B=R,如图所示.∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a-1,或a0}.(2)若A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀,则𝑎≤0,𝑎+3≥2,得𝑎≤0,𝑎≥-1,即-1≤a≤0.∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即{a|a-1,或a0}.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法方法点睛有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.(1)运用补集思想求参数范围的方法:①否定已知条件考虑反面问题;②求解反面问题对应的参数范围;③将反面问题对应的参数范围取补集.(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思想方法变式训练已知集合A={x|x-6,或x3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠⌀,求k的取值范围.分析:A∩B≠⌀时对应的k的取值范围不好直接求解,可考虑问题的反面:先求A∩B=⌀时对应的k的取值范围,再取其“补集”,即可得A∩B≠⌀时k的取值范围.解:由已知可得B={x|k≤x≤k+1},若A∩B=⌀,则𝑘≥-6,𝑘+1≤3,解得-6≤k≤2.令P={k|-6≤k≤2},则∁RP={k|k-6,或k2}.所以当A∩B≠⌀时,k的取值范围是k-6或k2.当堂检测课堂篇探究学习1.设U=R,A={x|x2,或x4},则∁UA等于()A.{x|x2,或x4}B.{x|2x4}C.{x|2≤x≤4}D.{x|x≥2,或x≤4}答案:C2.设集合I={0,1,2,3,4}为全集,集合A={0,1,2,3},B={2,3,4},则∁IA∪∁IB等于()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,4}D.{0,1,2,3,4}答案:C探究一探究二探究三思想方法当堂检测课堂篇探究学习3.有下列命题:①若A∩B=U,则A=B=U;②若A∪B=⌀,则A=B=⌀;③若A∪B=U,则∁UA∩∁UB=⌀;④若A∩B=⌀,则A=B=⌀;⑤若A∩B=⌀,则∁UA∪∁UB=U;⑥若A∪B=U,则A=B=U.其中不正确的有()A.0个B.2个C.4个D.6个解析:①若集合A,B中有一个为U的真子集,那么A∩B≠U,所以A=B=U;②若集合A,B中有一个不为空集,那么A∪B≠⌀,所以A=B=⌀;③因为∁UA∩∁UB=∁U(A∪B),而A∪B=U,所以∁UA∩∁UB=∁U(A∪B)=⌀;④当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有A∩B=⌀,所以不一定有A=B=⌀;⑤因为∁UA∪∁UB=∁U(A∩B),而A∩B=⌀,所以∁UA∪∁UB=∁U(A∩B)=U;⑥当A∪B=U时,有可能A=⌀,B=U,所以不一定有A=B=U.所以不正确的为④⑥,共2个.答案:B探究一探究二探究三思想方法当堂检测课堂篇探究学习4.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.(1)_____________(2)_____________答案:(1)∁U(A∪B)(或∁UA∩∁UB)(2)∁UA∩B5.已知全集U=R,A={x|-4≤x2},B={x|-1x≤3},P=𝑥𝑥≤0,或𝑥≥52,求A∩B,∁UB∪P,(A∩B)∩∁UP.解:A∩B={x|-1x2},∵∁UB={x|x≤-1,或x3},∁UP=𝑥0𝑥52,∴∁UB∪P=𝑥𝑥≤0,或𝑥≥52.∴(A∩B)∩∁UP={x|0x2}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测课堂篇探究学习6.设全集为U,已知集合A={1,3,5,7,9},∁UA={2,4,6,8},∁UB={1,4,6,8,9},求集合B.解:如图,借助维恩图,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∵∁UB={1,4,6,8,9},∴B={2,3,5,7}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测课堂篇探究学习