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第10课时一次函数的图象与性质考点一一次函数的概念考点聚焦1.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①_____________②____________③二、三、四一、三、四一、二、四二、四(续表)增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤总结(1)直线y=kx+b(k≠0)均可由直线y=kx(k≠0)平移得到;(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,k决定函数的增减性,b决定了直线与y轴交点的纵坐标;(3)直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2且b1≠b2减小增大【温馨提示】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,⑥)和(⑦,0)的一条直线,所以直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为S=12-𝑏𝑘·|b|.b-𝒃𝒌考点三一次函数的解析式的确定1.方法:待定系数法2.步骤:(1)设:设一般式y=kx+b(k≠0);(2)列:找出直线上两点的坐标,分别代入y=kx+b,得到关于k,b的方程组;(3)解:解方程组,求得k,b的值;(4)依据k,b的值,写出一次函数的解析式.考点四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与一次方程(组)的关系(1)一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程;(2)方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象与⑧轴交点的横坐标⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑨时x的值;(3)如图10-1,已知两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2,则方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解为𝑥=𝑚,𝑦=𝑛⇔两个一次函数图象的交点B的坐标,即B(m,n).x0图10-12.一次函数与不等式的关系(1)不等式kx+b0(kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑩0(y⑪0)时x的取值;(2)如图10-1,不等式k1x+b1k2x+b2的解集是xm;不等式k1x+b1≤k2x+b2的解集是⑫.x≤m图10-1题组一教材题对点演练1.[八下P93练习第1题]直线y=2x-3与x轴交点坐标为,与y轴交点坐标为,图象经过象限,y随x的增大而.2.[八下P99习题19.2第9题改编]点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S.(1)用含x的式子表示S为,x的取值范围为;(2)当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为;(3)△OPA的面积24(填“”或“≥”).(0,-3)第一、三、四增大𝟑𝟐,𝟎S=-3x+240x893.[八下P108复习题19第9题改编]已知等腰三角形周长为20,底边长y关于腰长x的函数解析式是(x为自变量,写出自变量的取值范围).y=-2x+20(5x10)4.已知函数y=(n+2)x|n|-1+5是关于x的一次函数,则n=.5.已知一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则k=.6.已知一次函数y=kx+b,且当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则k+b的值为.题组二易错题【失分点】忽视一次函数定义中的限制条件;忽视坐标系中表示线段的长时要取点的横(纵)坐标的绝对值;忽视分类讨论或分类讨论不全.21或9±𝟏𝟐考向一一次函数的图象与性质例1[2019·菏泽]下列关于一次函数y=kx+b(k0,b0)的说法,错误的是()A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x-𝑏𝑘时,y0[答案]D[解析]∵y=kx+b(k0,b0),∴图象经过第一、二、四象限,A正确;∵k0,∴y随x的增大而减小,B正确;当x=0时,y=b,∴图象与y轴的交点为(0,b),C正确;当y=0时,x=-𝑏𝑘,当x-𝑏𝑘时,y0,D不正确.故选D.【方法点析】k和b的符号作用:k的符号决定增减性,k0时,y随x的增大而增大,k0时,y随x的增大而减小;b的符号决定与y轴交点在x轴上方还是下方(上正,下负).1.[2019·毕节]已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象经过一、三、四象限,则下列结论正确的是()A.kb0B.kb0C.k+b0D.k+b0|考向精练|[答案]B[解析]y=kx+b的图象经过一、三、四象限,∴k0,b0,∴kb0.故选B.图10-22.[2019·杭州]已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是()A3.[2019·潍坊]当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,则k的取值范围是.[答案]1k3[解析]∵直线经过第二、三、四象限,∴2-2𝑘0,𝑘-30,解得1k3.考向二一次函数解析式的求解例2[原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(1)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);(2)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.解:(1)∵图象平行于直线y=2x-1,∴k=2,设函数解析式为y=2x+b,将(1,3)代入得3=2×1+b.∴b=1.∴y=2x+1.例2[原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(2)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(2)图象与直线y=-12x+3相交于y轴上同一点,∴图象与y轴交于点(0,3).设函数解析式为y=kx+3.将(2,-1)代入得-1=2k+3.∴k=-2.∴y=-2x+3.例2[原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.(3)直线y=2x+b与x轴交点坐标为-𝑏2,0,与y轴交点坐标为(0,b).由题意得12·|b|·-𝑏2=4.∴𝑏24=4.∴b2=16.∴b=±4.∴y=2x+4或y=2x-4.1.[2019·盐城]如图10-3,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图象分别交x轴,y轴于点A,B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是.|考向精练|图10-3[解析]∵一次函数y=2x-1的图象分别交x轴,y轴于点A,B,∴点A坐标为12,0,点B坐标为(0,-1).如图,过点A作AB的垂线AD,交BC于点D,∵∠ABC=45°,∠BAD=90°,∴△ABD为等腰直角三角形.过点D作x轴的垂线交x轴于点E,易证△AED≌△BOA.∴AE=OB=1,DE=OA=12,∴点D坐标为32,-12.设直线BC表达式为y=kx+b,∵直线BC过点B(0,-1),D32,-12,∴𝑏=-1,32𝑘+𝑏=-12,解得𝑘=13,𝑏=-1.∴直线BC的函数表达式为:y=13x-1.[答案]y=13x-12.[2019·乐山]如图10-4,已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积.图10-4解:(1)∵点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,∴2×(-1)+4=a,即a=2,∴点P的坐标为(-1,2).设直线l1的解析式为:y=kx+b(k≠0),将B(1,0),P(-1,2)的坐标代入,得𝑘+𝑏=0,-𝑘+𝑏=2,解得:𝑘=-1,𝑏=1.∴l1的解析式为:y=-x+1.2.[2019·乐山]如图10-4,已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(2)求四边形PAOC的面积.图10-4(2)∵直线l1与y轴相交于点C,∴点C的坐标为(0,1).∵直线l2与x轴相交于点A,∴A点的坐标为(-2,0),则AB=3,∵S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC,∴S四边形PAOC=12×3×2-12×1×1=52.[答案](1)C[解析]根据题意,将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到的直线解析式为:y=x-1+2,即y=x+1,当x=0时,y=1,∴与y轴交于点(0,1);当y=0时,x=-1,∴与x轴交于点(-1,0);图象经过第一、二、三象限;y随x的增大而增大.故选C.考向三一次函数图象的平移例3(1)[2018·荆州]已知将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是()A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于(1,0)C.与y轴交于(0,1)D.y随x的增大而减小(2)将直线y=2x-1向上平移2个单位,再向右平移1个单位后得到的直线解析式为.(2)y=2x-1【方法点析】直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.平移的规律:若向上或向下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位长度数;若向左(或向右)平移m个单位长度,则直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x+m)+b(或y=k(x-m)+b),其口诀是上加下减,左加右减.[2019·邵阳]一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图10-5所示,将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2,l2的函数表达式为y2=k2x+b2.下列说法中错误的是()A.k1=k2B.b1b2C.b1b2D.当x=5时,y1y2|考向精练|图10-5[答案]B[解析]∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2,∴直线l1∥直线l2,∴k1=k2,∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2,∴b1b2,∴当x=5时,y1y2.故选B.考向四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组)的关系例4如图10-6,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则(1)关于x的方程x+b=kx+6的解是;(2)方程组𝑦=𝑥+𝑏,𝑦=𝑘𝑥+6的解为;(3)关于x的不等式x+bkx+6的解集是;(4)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.x=3𝒙=𝟑,𝒚=𝟓图10-6x3x3【方法点析】(1)两直线交点的坐标是这两条直线的表达式组成的方程组的解,反之也成立;(2)两函数图象交点处两函数值相等,从交点处分界,哪条直线在上方,相应自变量取值范围内的函数值就大.1.一次函数y=ax+b的图象如图10-7所示,则不等式ax+b≥0的解集是()A.x≥2B.x≤2C.x≥4D.x≤4|考向精练|2.[2019·遵义]如图10-8所示,直线l1:y=32x+6与直线l2:y=-52x-2交于点P(-2,3),不等式32x+6-52x-2的解集是()A.x-2B.x≥-2C.x-2D.x≤-2图10-7图10-8BA3.[2019·娄底]如图10-9,直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A(-2,0),点B(3,0),则𝑥+𝑏0,𝑘𝑥+20的解集为()A.x-2B.x3C.x-2或x3D.-2x3[答案]D[解析]观察函数图象得到:不等式x+b0的解集为x-2;不等式kx+20的解集为x3,所以不等式组𝑥+𝑏0,𝑘𝑥+20的解集为-2x3.故选D.4.[2017·泰州]平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(m+1,m-1).(1)试判断点P是否在一次函数y=x-2的图象上,并说明理由;(2)如图10-10,一次函数y=-12x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B,若点P在△AOB的内部,求m的取值范围.图10-10解:(1)在;理由如下:把x=m+1代入y=x-2,得y=m-1,故点P在一次函数y=x-2的图象上.4.[2017·泰州]平