搜索
第8课时一元一次不等式(组)考点一不等式的有关概念1.不等式:用符号“”(或“≤”),“”(或“≥”)连接的式子.2.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数是①的不等式.1考点二不等式的性质性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝒂𝒄④𝒃𝒄;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝒂𝒄⑥𝒃𝒄.考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀𝑥≥𝑎,𝑥𝑏⑦同大取大𝑥≤𝑎,𝑥𝑏⑧同小取小𝑥≥𝑎,𝑥𝑏⑨大小小大中间找𝑥≤𝑎,𝑥𝑏⑩大大小小没有解xbx≤aa≤xb无解考点四用不等式解实际问题用不等式解实际问题的一般步骤图8-1【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.[答案]A[解析]因为ab且acbc,所以c0.选项A符合ab,c0,故满足条件的对应点位置可以是A.选项B不满足ab,选项C,D不满足c0,故满足条件的对应点位置不可以是B,C,D.故选A.考向一不等式的性质例1[2019·南京]实数a,b,c满足ab且acbc,它们在数轴上的对应点的位置可以是()图8-2【方法点析】运用不等式的性质时,应注意两点:(1)不等式的两边同时乘以或除以一个负数,不等号的方向要改变;(2)不等式的两边同时乘以或除以一个参数时,注意参数是否能取0.|考向精练|1.[2019·广安]若mn,下列不等式不一定成立的是()A.m+3n+3B.-3m-3nC.𝒎𝟑𝒏𝟑D.m2n2D2.已知a,b,c均为实数,若ab,c≠0,下列结论不一定正确的是()A.a+cb+cB.c-ac-bC.𝒂𝒄𝟐𝒃𝒄𝟐D.a2abb2D考向二一元一次不等式(组)的解法例2(1)[2019·威海]解不等式组𝟑-𝒙≥𝟒①,𝟐𝟑𝒙+𝟏𝒙-𝟐𝟑②时,不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是()图8-3D例2(2)[2018·包头]不等式组𝟐𝒙+𝟕𝟑(𝒙+𝟏),𝟐𝟑𝒙-𝟑𝒙+𝟒𝟔≤𝟐𝟑的非负整数解有个.[答案]4[解析]不等式组𝟐𝒙+𝟕𝟑(𝒙+𝟏),𝟐𝟑𝒙-𝟑𝒙+𝟒𝟔≤𝟐𝟑的解集是x4,非负整数解有0,1,2,3,共4个.【方法点析】解不等式组时,先解出不等式组中的每个不等式,再找其公共部分.找公共部分可按“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了”来找.|考向精练|1.[2019·包头一模]在数轴上表示不等式组𝟏+𝒙𝟎,𝟒-𝟐𝒙≥𝟎的解集,正确的是()图8-4C2.[2019·包头样题三]不等式组𝒙𝟐𝒙+𝟏,𝟑𝒙-𝟐(𝒙-𝟏)≤𝟒的所有整数解的积是.03.若代数式𝟐𝟐𝒙+𝟏+𝟑-𝟐𝒙有意义,则x的取值范围是.-𝟏𝟐x≤𝟑𝟐4.[2019·江西]解不等式组:𝟐(𝒙+𝟏)𝒙,𝟏-𝟐𝒙≥𝒙+𝟕𝟐,并在数轴上表示它的解集.图8-5解:𝟐(𝒙+𝟏)𝒙,①𝟏-𝟐𝒙≥𝒙+𝟕𝟐,②解①得,x-2,解②得,x≤-1,∴不等式组的解集为-2x≤-1.在数轴上表示为:考向三含参数的一元一次不等式(组)的解集例3(1)[2018·包头样题一]若不等式组𝒙-𝟐𝒂𝟑,𝟐𝒙-𝒃𝟏的解集为-3x2,则ab的值为()A.-9B.9C.-27D.27C例3(2)[2019·昆都仑区二模]关于x的一元一次不等式组𝟐𝒙-𝟏𝟑(𝒙-𝟏),𝒙𝒎恰好有三个整数解,则m的取值范围是()A.5≤m6B.5m6C.5≤m≤6D.5m≤6[答案]D[解析]解2x-13(x-1)得x2,∵原不等式组有解,∴不等式组的解集为2xm.∵有三个整数解,∴整数解为3,4,5,∴5m≤6.例3(3)[2019·包头]已知不等式组𝟐𝒙+𝟗-𝟔𝒙+𝟏,𝒙-𝒌𝟏的解集为x-1,则k的取值范围是;[答案]k≤-2[解析]解2x+9-6x+1得x-1.解x-k1得xk+1.∵不等式组的解集为x-1,∴k+1≤-1,解得k≤-2.【方法点析】已知不等式(组)的解集求字母(或有关字母代数式)的值或取值范围时,一般先求出已知不等式(组)的解集,再结合给定的解集,得出等量关系或者不等关系.|考向精练|1.[2017·毕节]关于x的一元一次不等式𝒎-𝟐𝒙𝟑≤-2的解集为x≥4,则m的值为()A.14B.7C.-2D.2[答案]D[解析]去分母得m-2x≤-6,移项得-2x≤-6-m,系数化为1得x≥𝟔+𝒎𝟐.根据不等式的解集为x≥4,可知𝟔+𝒎𝟐=4,解得m=2.故选D.2.若不等式组𝟐𝒙-𝒂𝟏,𝒙-𝟐𝒃𝟑的解集为-1x1,则(a-3)(b+3)的值为()A.1B.-1C.2D.-2D3.[2019·包头样题一]已知关于x的不等式组𝟑𝒙-𝟏𝟒(𝒙-𝟏),𝒙𝒂的解集是x3,那么实数a的取值范围是()A.a3B.a≤3C.a3D.a≥3D4.[2019·聊城]若不等式组𝒙+𝟏𝟑𝒙𝟐-𝟏,𝒙𝟒𝒎无解,则m的取值范围为()A.m≤2B.m2C.m≥2D.m2[答案]A[解析]解不等式𝒙+𝟏𝟑𝒙𝟐-1,得x8,由不等式x4m,知x4m,当4m≤8时,原不等式组无解,∴m≤2,故选A.考向四一元一次不等式的应用例4[2019·广东]某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,已知每个篮球的价格为70元,每个足球的价格为80元.(1)若购买这两类球的总金额为4600元,求篮球、足球各买了多少个?(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,求最多可购买多少个篮球?解:(1)设篮球买了x个,足球买了y个,根据题意,得𝒙+𝒚=𝟔𝟎,𝟕𝟎𝒙+𝟖𝟎𝒚=𝟒𝟔𝟎𝟎,解得𝒙=𝟐𝟎,𝒚=𝟒𝟎.∴篮球买了20个,足球买了40个.例4[2019·广东]某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,已知每个篮球的价格为70元,每个足球的价格为80元.(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,求最多可购买多少个篮球?(2)设购买了a个篮球,根据题意,得70a≤80(60-a).解得a≤32.∴最多可购买篮球32个.【方法点析】(1)解决实际问题时,注意利用表示不等关系的关键词,如“不少于”“不超过”“至少”等.(2)以图表信息的形式出现的实际问题,常用方程和不等式的方法解决.解决问题的关键是分析图表,找出相等关系和不等关系,列出方程或不等式.(3)注意所求的结果应符合生活实际.|考向精练|1.[2019·赤峰]某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话:(1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个?(2)学校决定,再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予八折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支?图8-6解:(1)设小明原计划购买文具袋x个,则实际购买了(x+1)个,依题意得:10(x+1)×0.85=10x-17,解得x=17.答:小明原计划购买文具袋17个.1.[2019·赤峰]某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话:(2)学校决定,再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予八折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支?图8-6(2)设小明可购买钢笔y支,则购买签字笔(50-y)支,依题意得:[8y+6(50-y)]×80%≤400-10×18×0.85,解得y≤4.375.即y最大值=4.答:小明最多可购买钢笔4支.2.[2019·益阳]为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾·稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价-成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价.(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为2.5元/千克,该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?解:(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x元、y元,由题意得𝒚-𝒙=𝟑𝟐,(𝟏-𝟏𝟎%)𝒚-(𝟏-𝟐𝟓%)𝒙=𝟑𝟎,解得𝒙=𝟖,𝒚=𝟒𝟎.答:去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元.2.[2019·益阳]为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾·稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价-成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为2.5元/千克,该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意得20×100×30+20×2.5z-20×600≥80000,解得z≥640.答:稻谷的亩产量至少会达到640千克.