九年级数学下册 第3章圆3.1圆 3.1.2 圆周角教学课件 湘教版

3.1.2圆周角1.知道什么样的角是圆周角.2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征.3.能应用圆心角和圆周角的关系,直径所对的圆周角的特征解决相关问题.4.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验的能力.3.下列命题是真命题的是()①垂直弦的直径平分这条弦②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,也是中心对称图形A.①②B.①③C.②③D.①②③1.圆心角的定义?答：相等.答:顶点在圆心，它的两边分别与圆都有一个交点，这样的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?B圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?A.OBC.思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？..AOBCA.OBC.你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?.OBCA特征：圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.【探究一】1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.图１图２图３图４图５2.指出图中的圆周角.AOBC∠ACO∠ACB∠BCO∠OAB∠BAC∠OAC∠ABO∠CBO∠ABC【跟踪训练】说说你的想法,并与同伴交流.提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.ABC●OABC●O●OABC如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?圆周角和圆心角的关系解:∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABCD如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121∴∠ABC=∠AOC.21提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121∴∠ABC=∠AOC.21DABC●O圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要给以重视.●OABC●OABCABC即∠ABC=∠AOC.21DD圆心在角的边上圆心在角外圆心在角内●OAOBC例1.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.【例题】∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC证明：【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.∠ACB=∠AOB21∠BAC=∠BOC21●OBBACDEDEAC当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?如图1,圆中一段弧对着许多个圆周角,这些角的大小有什么关系?为什么?OFBACEG图2由此你能得出什么结论?●OBCDEA图1如图2,圆中,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?ACABEF【探究二】OFBACEG如图,圆中∠C=∠G,那么的大小有什么关系?为什么?由此你又能得出什么结论?ABEF和用于找相等的弧圆周角定理的推论1在同一圆（或相等的圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等.用于找相等的角1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任意一点，你能确定∠BAC的度数吗?BCOA图(1)2.如图(2)，圆周角∠BAC=90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？A●OBC图(2)由此你能得出什么结论?【讨论】用于判断某条弦是否是直径用于构造角直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径.圆周角定理的推论2●ODABC例2.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系?为什么?解析：AC=AB如图，连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°∵DC=BD，∴AC=AB【例题】证明：如图连结AD，AE.∴∴∠DAB=∠AED，∠EAC=∠ADE∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN∴△AMN是等腰三角形.●ODABCNME例3.如图⊙O中,D，E分别是的中点,DE分别交AB和AC于点M，N;求证:△AMN是等腰三角形.ABAC和∵D，E分别是的中点,ABAC和ADDBAEEC×××1.判断题：（1）等弧所对的圆周角相等.（）（2）相等的圆周角所对的弧也相等.（）（3）90°的角所对的弦是直径.（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）×【跟踪训练】2.填空题:(1)如图所示,∠BAC=,∠DAC=.DABC∠DBC∠BDC●OACB(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC=cm53.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直径.●OACBE提示：连结AO并延长交⊙O于点E，连结BE，∠E=30°,∠ABE=90°,解Rt△ABE可得⊙O的直径为8.4.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则(1)OC与AD的位置关系是_________________.(2)OC与BD的位置关系是________.(3)若OC=2cm,则BD=_____cm.OC垂直平分AD平行4CDABOO15.如图，AE是⊙O的直径,△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高;求证：AB·AC=AE·ADAOBCDE分析：要证AB·AC=AE·ADABADAEAC△ADC∽△ABE或△ACE∽△ADB1.（兰州·中考）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为（）【答案】BA.15°C.29°B.28°D.34°AOCB2.（重庆·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°则∠AOC的度数等于（）A140．B130．C120．D110．【答案】A3.（潼南·中考）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（）A．15°B.30°C.45°D．60°ABCO【答案】B4.（荆州·中考）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若弧AB的长为12cm，那么弧AC的长是（）A．10cmB．9cmC．8cmD．6cm【答案】CGFDOABCE225.（鄂州·中考）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D，E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF交直线CD于点G，AC=,则AG·AF是（）A.10B.12C.16D.8【答案】D【规律方法】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的等量关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.一、这节课主要学习了两个知识点：1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理推论.二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.三、圆周角及圆周角定理及其推论的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.虽然言语的波浪永远在我们上面喧哗，而我们的深处却永远是沉默的.——纪伯伦